TANGENTES ET NORMALES AUX COURBES PLANES

Oî. — On sait que l'on appelle tangente à une courbe, en un point donné de cette courbe, la limite des positions que

\}2 IREMIERS ÉLÉMEMS DU CALCUL LNFLMTÉSLMAL.

prend une sécante menée par ce point, lorsqu'on la fait tourner jusqu'à ce qu'un second point d'intersection vienne se confondre avec le premier.

L'équation de la tangente se déduit immédiatement de cette défmition. Soit y = f{x) l'équation de ];i courbe, x cl y les coordonnées du point ])ar lequel on veut mener la tangente, X -\- AX cl y -h Mj les coordonnées d'un point voisin pris sur la môme courbe. L'équation de la sécante passnnt par ces deux points sera, en désignant par X et Y les coordonnées courantes, et appliquant l'équation connue de la droite passant par deux points donnes,

Si l'on fait tourner la sécante autour du point x, y jusqu'à ce que le second point x -+- AX, y -\~ Ay vienne se confondre nvec le premier, AX et Ay tendront simultanément vers zéro,

et — tendra vers la dérivée f [x] ou y' de la fonction don-

née f{x). En même tem[)s la sécante tendra vers la position pour laquelle elle prend le nom de tangente. L'équation de la tangente sera donc

Si l'on met pour y et pour y' leurs valeurs en x, on peut écrire

(Jn voit que lorsque l'abscisse x du point de contact sera donnée, tout sera connu dans l'équation (2), et il sera facile de consiruire la droite qu'elle représente.

98. — La forme de l'équalion (2) suggère souvent un moyen géométrique simple pour mener la tangente. C'est ce

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQLIES.

qiii arrive pour les courbes du second degré ; nous renverrons à cet égard aux traités de Géométrie analytique. Nous nous contenterons des deux exemples qui suivent. l, — Soit la courbe y = x'^. On en lire

mx

Pour con.-lruirc la tangente au point M, on prendra donc, sur la direction de l'ordonnée, une longueur PN égale à my ou 7n. . MP ; on joindra ON, et par le point M on mènera MT parnllùle à ON; ce sera la tangente demandée, car on a

tang MTP = lang NOP r= — — '"-'