NP OP

II, — Soit la courbe y = A logo;. Ou a dans ce cas

A log e

Pour construire la tangente en M, on prendra d'alu rd -^nr Taxe des y une longueur OU (gale i Alog^; enjoindra le point lixe 11 au pied P de l'ordonnée, et par le point M on mènera MT parallèle à PII; ce sera la tangente demandée ; car on a

tang MTP = tang HPO = i|^ = ^^i^.

o». — Si dans l'écpiation [i] de la tangente on fait \=:X -\- hj h étant une quantité infiniment petite, on en tire

Y = f{x)-hf'ix).h.

94 pre.mi::rs éléments du calcul infinitésimal

Or la formuL' de Taylor (64) donne pour l'ordonnée f{x-\-]t) de la courbe (jui répond à l'abscisse a; -h /i, la valeur

f{x-^h)=f ix) + /•' {X) ^ +r (^) ï^+ -.

11 en résulte

Ainsi 1.1 dilfcrence enirc rordonncc de la tangente et l'ordonnée de la courbe qui correspondent à une même abscisse, infiniment peu supérieure à celle du point de contact, est une quantité infiniment petite du second ordre (6). Il n'en pourrait élre au!remcnt que si f" (x) devenait infini, cequel'onne suppose pas.

On considère souvent une courhc comme un polygone infinitésimal, cest-à-dire comme un polygone d'un nombre infini de côtés infiniment petits; l'un quelconque de ces côtés est alors ce que l'on appelle un élément de Va couvhe. Si M et M' sont deux sommets consécutii's de ce polygone, on regarde le côté MM', ou du moins le prolongement de ce côté, comme se confondant avec la tangente en M, et l'on dit en ce sens que la tangente en M n'est autre cbose que l'élément MM' prolongé.

Cette manière de voir suppose, d'après ce qui précède, qu'on néglige les infininient petits du second ordre, puisqu'elle revient à supposer que le point M' infiniment voisin du point M est situé sur la tangente en M. Cette hypothèse n'est plus permise dans les questions où il est nécessaire de tenir compte des infiniment petits du second ordre.

On peut présenter la mè ne observation sous une autre

dv

forme. Si dans 1 équaiion de la tangente on met -^ à la place

de f {x), on peut récrire

APPLICATIO.NS GÉOMÉTRIQUES. 95

et il scml)le qu'elle soit satisfaite pour

\ = X-h dx^ et Y =: (/ 4- (/y ,

c'est-à-dire qu'il semble que la tangente passe par le point x-\-(lx, V -i- dij (le la courbe infiniment voisin du point de contact. Mais, quand on fait cette substitution, il vient

relation qui n'est réellement une identité que lorsqu'on néglige les infiniment petits du second ordre (60).

Remarque. Lorsque deux courbes sont tangentes, elles ont au point de contact une tangente commune ; il est donc facile do déduire de ce qui précède que leurs ordonnées, correspondantes à une abscisse infiniment peu supérieure à celle du |ioint de contact, est la somme ou la différence de deux infiniment petits du second ordre, et est par conséquent elle-même un infiniment petit du second ordre.

100. — On peut avoir à mener la tangente à une courbe, par un point extérieur à celte courbe, ou parallèlement à une droite donnée.

I. — Dans le premier cas, soient a et (i les coordonnées du point extérieur donné. Ces coordonnées devront salislaire à l'équation de la tangente, et l'on aura, en appelant toujours X et ij les coordonnées du ponil de contact,

(5) ^ — ij = f'{x){y.-x);

mais on a aussi

Ces deux relations serviront à déterminer les deux inconnues X el ij.

On pourrait aussi considérer ces relations comme les équations de deux lieux géométriques dont les intersections sont autant de points de contact ou dt solutions de la question.

L'un de ces lieux géométiiques (4) est la courbe donnée elle-même.

II. — Dans le second cas, soit a le coefficient angulaire do la droite donnée.

On devra avoir f'{x)^=a, si l'équation de la courbe est

Ij^f (j), ou plus généralement — ' ,. "^ "— = a , si l'équa-

tien de la courbe est f(x^ î/) = t> (50). Celte relation, jointe à

servira à déterminer les coordonnées inconnues x et y du point de contact.

On pourrait aussi considérer ces deux relations comme les équations de deux lieux gcométri(jues dont les intersections seront autant de solutions de la question.

Nous n'insisterons pas sur ces considérations, qui sont développées dans tous les traités de Géométrie analytique.

iot. — On appelle sous-tangente la portion de Taxe des x comprise entre le pied de Tordonnée et le pied de la tangente. Pour l'obtenir, il suffit de faire 1 = 0 dans l'équation de la tangente, car X est alors Tahscisse du |)ied de la tangente, et la sous-tangente n'est autre cliose, en valeur absolue, que la différence X — x entre cette abscisse et celle du pied de l'ordonnée. Or l'équation de la tangente, qui se réduit alors à

donne

Telle est l'expression de la sous-tangente. Si y' est de même signe que î/, X — x est négatif, cc>t-à-dire », e le pied de la tangente est alors à gauche du pied de 1 ordonnée,

APPLICATIONS GEOMETRIQUES. 07

si l'on adopte les conventions ordinaires. Si y' esl de signe contraire à y, X — x est positif, c'est-à-dire (pie le pied de la tangente est alors à droite du pied de l'ordonnée Considérons, par exemple, la courbe

on déduit de cette équation

y' = mke'" ,

et, par conséquent,

quantité constante.

On voit que, dans cette logarithmique, la sous-tangente est constante, et que le piodde la tangente est situé à gauche du pied de l'ordonnée.

ios. — On appelle normale la perpendiculaire à la tangente menée par le point de contact. Si les axes sont rectangulaires, ce qui est le cas le plus fréquent, surtout dans les applications, il suffit pour obtenir l'équation de la normale de changer, dans l'équation de la tangente, le coefficient angulaire y' en -, , ce qui donne

On pourrait, comme dans le cas de la tangente, mener la normale par un point extérieur ou parallèlement à une droite donnée; les méthodes seraient les mêmes, mais les calculs sont en général plus compliqués.

103. — On donne le nom de sous-normale à la portion de l'axe des x comprise entre le pied de l'ordonnée et le pied de la normale. Pour l'obtenir, il faut faire V = 0 dans l'équa-

tion (6) de la normale; X est alors l'abscisse du pied de la normale, etX — x est, en valeur absolue, la longueur de la sous-normale. Or l'équation (6), qui se réduit alors à

nonne

\ — x = yij'.

Telle est l'expression de la sous-normale. Si y et y' sont de signe contraire, X — x est négatif, et le pied de la normale est à gauche de l'ordonnée; si y el y' sont de même signe, X — X est positif el le pied de la normale est à droite du pied de l'ordonnée.

ExLMPLEs. I, Considérons la parabole y^:^'2px'j on a dans ce

casy'=-, cl par suite yy' = p^ c'esl-à-dirc que la sousnormale est constante. En môme temps yij' est positif, et le pied de la normale est à droite du pied de l'ordonnée.

II. On sait que la cycloïde est représentée par les équations

a; = R(a — sina), y=R(l — cosa),

R désignant le rayon AG du cercle générateur, et a l'angle MCA que fait avec l'axe des y, ou avec CA , le rayon CM mené au point décrivant. On en tire

(/x = R (1 — cos a) (h, et dy ^ R sin aJa,

d'où

R sin a

cos a

R sin a

APPLICATIONS GÉÛ.MÉTfUQUES. 99

par suite

yy'= Il sin a ,

c'est-à-dire que la sous normale est la projection PA du rayon décrivant CM sur l'axe des x. 1 en résulte que la normale à la cijcloide en un point donnéU de cette courbe est la droite MA qui joint ce point au point de contact A du cercle générateur avec l'axe des x.

t04. — L'équation (1) delà tangente et l'équation (6) de la normale peuvent, lorsqu'on y remplace y' par — , se mettre respectivement sous la forme

isi\ dx__jli^

et

(9) (X — x) dx -+- (Y — y) dy = 0.

Ces formes, symétriques et faciles à retenir, sont souvent utiles dans les calculs.