COURBES ENVELOPPES

lO». — Lorsque réqualion d'une courbe contient un paramètre arbitraire que l'on peut faire varier, toutes les courbes qui correspondent aux difféientcs valeurs de ce paramètre forment ce qu'on appelle une famille de courbes. On appelle enveloppe dune pareille famille de courbes le lieu des intersections successives des diverses courbes qui composent la famille, c'est-à-dire le lieu des intersections de deux courbes de la même famille dans lesquelles les valeurs du paramètre arbitraire ne diffèrent que d'une quantilé infiniment petite. Si, par exemple, f{x, y, a) = 0, représente l'une des courbes considérées, et f{x,y, a-\- da) =^0 une autre courbe de la

même famiilc ne diflérant de la première qu'on ce que ïe paramètre arbitraire a a varié d'une quantité infiniment petite, ces deux courbes seront dites infiniment voisines, et leur point d'intersection sera un des points de l'enveloppe,

106. — Le procédé à suivre pour trouver l'équation de l'enveloppe se tire deladéfinilion même. Soit /"(a?,!/, 0)^=0(1) l'équation de la famille de courbes considérées. Changeons d'abord a en aH-Aa, l'équation /"(x, y, a-l-Afl)=0 (2) sera une autre courbe de la même famille ; et les coordonnées des points communs à ces deux courbes s'obtiendraient en cherchant les syslèmes de valeurs de x et i/, qui satisfont à la fois aux deux équations. Or on sait que l'on peut remplacer 1 une de ces équations par une combinaison des deux par voie d'addition ou de soustraction. On peut donc substituer, par exemple, à la seconde la combinaison

f{x,y, a-hAa) — f{x,îj,a) = Oj OLi, ce qui revient au même,

f {x. îj, a -h ^a) — f{x, y, a)Q

Art

Supposons maintenant que l'on fasse tendre àa vers zéro, les deux courbes deviendront consécutive?, et leurs points communs appartiendront à l'enveloppe. Les coordonnées de ces points seraient donc données par la résolution des deux équations

lira . r^^. !/. g + Afi) — f(3;,y, fl) ^^

AI'PLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 101

Pour obtenir l'équation de l'enveloppe, il n'y aura donc qu'à cliuiiner entre ces deux équations le paramclie a qui particularise les points communs.

Ainsi, pour obtenir l'équation de l'enveloppe des courbe» représentées par une équation telle que f(x,y, a) = 0, il suffit d'éliminer le paramètre a entre cette équation et sa dérivée, prise par rapport à ce paramètre.

lo». — Il est aisé de reconnaître que chacune des courbes enveloppées est tangente à l'enveloppe. Soient, en effet, AB, A'B', A"B" trois courbes consécutives de la famille considérée, M l'intersection des courbes AB et A'B', i\ rinterseclion des courbes A'B' et A"B". Les deux points M et N appartiendront à l'enveloppe; il en sera donc de môme de l'élément infiniment petit MN ; cet élément sera donc commun à l'enveloppée A'B' et à l'enveloppe. Donc l'enveloppe est tangente à l'enveloppée A'B'. On démontrerait de la même manière qu'elle est tangente à toutes les autres enveloppées.

Mais celle propriété peut être démontrée par l'analyse de la manière suivante. Puisque l'équation de l'enveloppe résulte de l'éliminalion du param.ètre a entre les équations

f (x, y, a) = 0 et f, (x, y,a) = 0,

on peut, pour obtenir le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppe au point j*, y, d fférencicr l'équation /"(j:, y, o)=0 en y regardant a comme une fonction dercet de y, cette dernière variable étant elle-même fonction de x. On obtient ainsi (55, 25)

Fie. 4.

df(da da \dx

, da dy

mais -p est nul en vertu de l'équation f'a{x^ y, fl)=0, il

reste donc

dx dy '

c'est-à-dire que le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppe au point ,t, y est donné par la même équation que le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppée au même point. Doncl'enveloppée est tangente à l'enveloppe.

108. — Exemples. I. Une droite mobile coupe les axes coordonnés à des distances a et h de l origine, dont la somme demeure constante; on demande f enveloppe des positions de cette droite. Soit a -\- b = m. L'équation de la famille de droites dont il s'agit sera

(1) -+! = 1, ou f.-+-Lr^l.

Égalant à zéro la dérivée par rapport à o, on obtient

0, d'où asjy — {m — a)\/x = Oi

rt* (m — af et par suite

m Jx . , . m Jy

a=-^-^ — = et (m — fl)= ^ "^ . \'x + \/y \x + s/y

Substituant dans (1), on trouve pour l'équaliou de Icnveloppe,

(2) (yjx-hsfyy = m,

équation d'une parabole qui a pour axe la bissectrice du premier angle des axes coordonnés, et qui touche ces axes aux points répondant à

y:=:Oj x = m, et x = 0, y = m.

On vérifie aisément que celte parabole est tangente à cliacune des droites proposées; car si l'on parte dans l'équation (1) la valeur de y donnée par l'équation l^), on obtient une équation du second degré en a; qui a ses racines égales.

II. Trouver r enveloppe des ellipses qui ont même surface et leurs axes dirigés suivant les mêmes droites.

Nous pouvons représenter par r.r- la surface commune de ces ellipses; nous aurons alors

T.ab = -zr^y d'où

a L'équation de la famille dcllipses considérée sera donc

Prenant la dérivée par rapport à a, et supprimant le facteur 2a devenu commun, on obtient

a* r d'où

— et c* = ± —

Substituant dans (1), on trouve

a* = — et a^ = ±^.

L'enveloppe demandée se compose donc des deux hyperboles équilalères qui ont les axes pour asyraptoles et pour

puissance ^.

Si l'on porte dans l'équation (1) la valeur de y tirée de l'équation (2), on obtient une équation en x qui est bicarrée £t qui a ses racines égales deux à deux. On vérifie ainsi que l'enveloppe est tangente en deux points à chacune des enveloppées.