CONVEXITÉ ET COURBURE DES LIGNES PLANES

109. — Un arc de courbe, aussi petit que l'on voudra, est concave du côté de sa corde, et convexe du côté opposé, c'est-à-dire du côté des tangentes menées par ses extrémités.

Fig. 5.

Fig. 6.

Considérons un arc très-petit MM' (fig. 5 et 6) d'une courbe dont l'équation en coordonnées rectangulaires est y = f{x). Soient x cl x-]-h\c& abscisses de ses extrémités.

Si, comme dans la figure 5, les tangentes MT, M'T' menées aux extrémités de l'arc MM' se coupent au-dessous de cet arc (en regardant l'axe OY comme vertical pour fixer les idées), l'arc tourne sa convexité vers le bas, c'est-à-dire vers les y négatifs. En même temps le coefficient angulsire de la tangente M'T' est plus grand que le coefficient angulaire de la tangente MT ; ainsi le coefficient angulaire de la tangente, c'està-dire f'(j;), est une quantité croissante, depuis l'alscissej; jusqu'à l'abscisse x-hh.

APPLICATIONS GEOMETRIQUES. i05

Si, comme dans la figure 6, les tangentes MT et M'T' se coupent au-dessus de l'arc MM', cet arc tourne sa convexité vers le haut, c'est-à-dire vers les y positifs. En même temps le coefficient angulaire de la tangente M'T' est plus petit que celui de la tangente MT ; ain*;i, dans ce cas, f {x) est une quantité décroissante, depuis l'abscisse x jusqu'à l'abscisse X H- /i.

Or, d'après ce qu'on a vu au n" 84, la fonction f [x] est croissante ou décroissante, de x à x -\- h, suivant que sa dérivée /'" ix) est positive ou négative. On peut donc dire que l'arc MM' tourne sa convexité vers le bas ou vers le haut, selon que, de X à X ■+■ h, la seconde dérivée f" {x) est positive ou négative.

Nous avons supposé l'ordonnée croissante dans les figures 5 et 6; les mêmes résultats subsistent en supposant l'ordonnée décroissante comme dans les figures 7 et 8. Ainsi, dans la

Fig. 7. Fig. 8.

figure 7, l'arc MM' tourne sa convexité vers le bas; or le coefficient angulaire de M'T' est moindre en valeur absolue que celui de MT ; et, comme ils sont tous deux négatifs, f {x) est une fonction qui croît algébriquement. Dans la figure 8, au contraire, l'arc MM' tourne sa convexité vers le haut; or le coefficient angulaire do M'T' est plus grand en valeur absolue que celui de MT ; et, comme ils sont tous deux négatifs, f'(j;) est une fonction qui décroît algébriquement

D'ailleurs, dans tout ce que nous venons de dire, la position de l'axe des x par rapport à l'arc considéré est indifférente ; donc enfin une courbe y = f (^) tourne sa convexité ,

à partir d'un point déterminé M ayant x pour abscisse, vers les y négatifs ou vers les y positifs, suivant que la seconde dérivée f"(x) est positive ou négative pour cette valeur de x.

Remarque. — On vé.Kie à Taide des considérations qui précèdent la règle donnée au n° 86, pour reconnaître les maxima ou minima d'une fonction d'une variable. Si l'ordonnée d'une courbe a un maximum ou un minimum, en ce jioint la tangente doit être parallèle à l'axe des a;, et par conséquent la première dérivée doit êlre nulle. S'il y a maximum, la courbe tourne sa convexité vers les y posiliCs, et par conséquent la seconde dérivée doit être négative. S'il y a minimum , la courbe tourne sa convexité vers les y négatifs, et par conséquent la seconde dérivée doit être positive. Mais ces considérations deviennent insuffisantes quand la seconJe dérivée s'annule, et il faut recourir à la tiiéoric exposée au numéro cité.

iio. — Considérons, par exemple, la courbe qui a pour équation

y =:sin X,

et qui a la forme représcnlée par la figure 9. On tire de celte équation

y — — sma;.

Fig. 9.

Par conséquent, on reconnaît que depuis a;=:0, qui répond à l'origine, jusqu'à 0; = ^, qui répond au point A oij la courbe rencontre de nouveau l'axe des x, f"{x) est négatif et que la courbe tourne sa convexité vers les y positifs. Au contraire, depuis 0; = - jusqu'à a;=2-, c'esl-à-Jire depuis le point A jusqu'au point B, oîi la courbe coupe, pour la troisième lois, l'axe des a;, f" [x) est positif, la courbe tourne sa convexité vers les y négalifs.

Les mêmes résultats se reproduisent périodiquement pour

APPLICATIONS GÉOMÉTIilQUES. 107

les valeurs de x supérieures à 2-, ou pour les valeurs négatives de cette variable.

111. — Il peut arriver que le coel'licient angulaire de la tangente, ouf (a;), après avoir été croissant àc x^a — h àx^a, devienne décroissant de a; = a à x^a-hh, ou vice versa ; en d'autres termes, il peut arriver que labscisse x=^a corresponde à un maximum ou à un minimum de f ix). On sait qu'alors sa dérivée f" (x) prend peur j; = a la valeur f"(o)=:0, OU la valeur f" (a) =-.c (85).

Les points qui présentent celle circonstance se nomment despoints d'inflexion. Ce sont des points oà la conve-.ité de la courbe change de sens; si, par exemple, de x=a — h à x=a, la courbe tournait sa convexité vers ics y négatii's de x=a à x = a-{-h, elle tourne sa convexité vers les y positifs; ou bien c'est l'inverse qui a lieu. Dans les deux cas la courbe passe d'un côté à l'autre de sa tangente, c'est-à-dire que si elle était d'abord d'un côté de la tangente de x^a — h à x=fl, elle passe de l'autre côté de x = a à a;:=:fl -1- h.

Dans la courbe y = sinx (fig. 9) les points 0, A, B,... sont des points d'inflexion ; car pour ces points on a

f" tx)=^ — ^iiix = 0.

Nous aurons occasion de revenir sur les points d'inflexion en nous occupant d'une manière plus générale des poinls singuliers.

112. — Les notions sur la courbure des lignes résultent de la comparaison des arcs de courbe quelconques avec les arcs de cercle.

Un arc de cercle de longueur déterminc'e est d'autant plus courbe que l'angle aigu formé par les tangentes menées à ses extrémités est plus grand. Soit, par exemple, l'arc MM': menons les rayons OM et OM', Fig. lo.

elles tangentes MT et M'ï' qui se coupent au point . Si

l'arc MM' a une longueur déterminée, il sera d'autant plus courbe (jue l'angle TIT' sera plus grand. Or cet angle est égal à l'angle MOM': on peut donc dire qu'un arc de cercle de longueur déterminée est d'autant plus courbe qu'il répond à un angle au centre plus grand, ou, ce qui revient au même, qu'il est d'autant plus courbe qu'il appartient à un cercle d'un rayon plus petit. Ainsi, pour un arc de cercle de longueur donnée, la courbure varie en raison inverse du rayon.

C'est ce que l'on peut voir encore d'une autre manière. On sait qu'on a

MM' = OMxarcMOM',

ou en appelant s l'arc MM', a l'angle MOM' (ou l'arc qui lui sert de mesure dans le cercle dont le rayon est 1) et r la longueur OM,

s = rcLy d'où l'on tire

On prend l'angle a pour la mesure de la courbure de l'arc S; on voit dès lors que pour un arc de même longueur elle varie en raison inverse du rayon.

Le quotient — représente la courbure par unité de lomjueui

de Varcs. D'après la relation (1), elle est égale à l'inverse du

ravon ; et c'est dans ce sens que - sert de mesure à la cour- ' ^ r

bure.

113. — Pour étendre ces notions à une courbe plane quelconque, on compare les très-pelils arcs de cette courbe à des

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUKS.

arcs de cercle. Cette comparaison peut d'abord se faire d'une manière élémentaire, comme il suit.