I. Soit AB la courbe considérée dont l'équation es

Fig. 11.

Soit M un point quelconque de cette courbe, dont les coordonnées sont X et y, et soient M' et M" deux points consécutifs très- voisins du premier. Pur les trois points M, M', M", qui ne sont point en ligne droite, on peut faire passer un cercle; soit C son centre; joignons les rayons CM et CM'.

Si les points M, M', M" sont trèsropprochcs, l'arc de cercle (|ui les joint différera très-peu de l'arc correspondant de la courbe proposée; et si on les rapprocbe de plus en plus, de manière à se confondre avec le point M, l'arc de cercle tendra à se confondre avec l'arc correspondant de la courbe AB. La limite vers laquelle tend ainsi le cercle mené par les tr is points consécutifs M, M', M" est ce que l'on appelle le cercle de courbure de la courbe au point M ; son centre est le centre de courbure^ et son rayon prend le nom de rayon de courbure.

On voit que le centre de courbure relatif au point M est à la rencontre de la normale en M avec une normale M'C infiniment voisine. On voit aussi qu'à la limite les deux longueurs MC et M'C peuvent être considérées comme égales.

114. — Soit p le rayon de courbure CM; désignons par f/s l'arc infiniment petit MM', et par da. l'angle infiniment petit MCM'. Cet angle, formé parles deux rayons CM, CM', est égal à l'angle formé par les deux tangentes MT, M'T', et porte, pour celle raison, le nom d'angle de coittingence.

Puisque l'arc MM' se confond avec l'arc correspondant du cercle de courbure, on a

doL 1 „ , rfs

Cette formule et les considérations géométriques qui précèdent peuvent d'abord servir à trouver l'expression du rayon de courbure.

Les coordonnées du point M étant x et y, celles du point M'

sont