X -\- dx, et y -h dij

la distance de ces deux points, ou l'arc MM' regardé comme ayant pour limite sa corde, a donc pour valeur

ds = lim . y Ao;* -h Mf , ou

ds = \Ulx^ -h dif = dx V 1 H- J/'^

Le coefficient angulaire de MT étant î/', celui de M'T' est de même y' -+- dy' ; la tangente de l'angle de ces deux droites est donc donnée par la relation

tangMCM'^f-y + ^^^1;

ou, en prenant l'arc pour la tangente, ce qui est permis, attendu que l'arc est infiniment petit, et, en négligeant l'infiniment petit dy' devant y'.

APPUCATIONS GÉC M ÉTHIQUES.

Par suite

p =(lx . \i''[ +y

'H-j/'^ (\-hyy

ou enfin

chf

Telle est l'expression du rayon de courbure. Elle ne donne pas jour p une valeur négative, attendu que, d'après la figure qui a servi à l'établir, la courbe tourne sa convexité vers les y positifs, et que dès lors y" est négatif (109).

Si l'on fait la figure pour le cas où la courbe AB tourne sa convexité vers les y négatifs, on voit que les calculs restent les mêmes, si ce n'est que pour avoir la tangente de l'angle de MT avec MT', il faut, en appliquant la formule connue qui donne la tangente de l'angle de deux droites, retrancher y' de y' -+- dy\ au lieu de ~ô soustraire y' -f- dy' de y' comme tout à l'heure. On obtient alors

Fig. 12.

et comme y" est alors positif, on obtient encore pour p une valeur positive.

II. Mais on peut établir la même formule par les considérations analytiques qui suivent.

Considérons d'abord deux courbes quelconques

y:=f{x) et y = ^{x),

qui ont un point commun répondant à l'abscisse a, de telle

sorte qu'on ait /'(o) = ç(a). Si dans les équations de ces courbes on remplace x par a + /i, h désignant une quantité inliniment petite, on aura (64) en admettant que de x = a a x = a-hh,\es fonctions f{x) et 9 [x) et toutes leurs dérivées conservent des valeurs finies,

/•(a+/i) =/•(«) + /'(«) ^4-f' (a)^2 et

Si l'on a f (a) =ç'(a), les deux courbes ont au point commun la même tangente, et l'on dit qu'elles ont entre elles un contact du premier ordre, et leurs ordonnées

f{a-\-hi et o{a-\-h)

ne diffèrent que d'un infiniment petit du deuxième ordre.

Si l'on a en outre/"" (a), = <f"{a), on dit que les courbes ont un contact du deuxième ordre; et leurs ordonnées

/■(rt + /i), et o(c-]-h)

ne diffèrent que d'un inliniment petit du troisième ordre.

En général, si les n premières dérivées prennent des valeurs égales pour x = a, on dit que les courbes ont un contact du n""^ ordre, et leurs ordonnées

f{a -+- h) et o{n-h h)

ne diffèrent que d'un infiniment petit de l'ordre n -1-1.

Si l'une des courbes est algébrique et de degré ?j, et qu'elle ait avec l'autre courbe un contact du n'^""* ordre, on dit que la première courbe est osculalrice par rapport à la seconde.

Conformément à celte définition, un cercle tangent à une

APPLICATIONS GEOMETRIQUES. 1 1 5

courbe est dit oscillateur, par rapport à cette courbe, s'il a avec elle un contact du deuxième ordre.

Proposons-nous de trouver le cercle osculateur à une courbe donnée y ^ f (x) au point qui a pour coordonnées X et y. Si X et Y sont les coordonnées de son centre, et p son rayon, son équation sera de la forme

On en tire, en différentiant deux fois de suite,

Pour que ce cercle soit osculateur à la courbe donnée au point X et y, il faut que y' et y" soient les mêmes pour la courbe et pour le cercle. Dès lors l'équation (2j signifie que le centre du cercle est sur la normale au point commun; car elle exprime que les coordonnées X et Y satisfont à l'équation de la normale. Quant à lé jualion (3), elle exprime que le centre du cercle est sur la normale à la courbe proposée, au point infiniment voisin qui a pour coordonnées x -h dx et y -+- ihj; car si, dans l'équation (2i, on remplace x par x -h dx, et y par y n-dy pour avoir la normale au point infiniment voisin, on retombe après réductions sur l'équation (3).

Le rayon p se déduit aisément des trois relations ci-dessus écrites. La troisième donne

substituant cette valeur dans la relation (2), on en déduit

et, par suite, la relation (l) donne

<'+!<">' j'où ,-+^L±jd

c'est la valeur obtenue pour le rayon de courbure par la première méthode.

On devra prendre le signe + ou le signe — suivant que y" sera positif ou r.égatif, pour que la valeur de p, qui exprime une longueur absolue, soit positive. C'e;-t-à-dire qu'il faudra prendre le signe -+■ ou le signe — , suivant que la convexité de la courbe sera tournée vers les y négatifs ou vers les y positifs.

Ce calcul montre l'identité du cercle osculateur avec le cercle de courbure passant par trois points consécutifs infiniment voisins, tel que nous l'avions d'abord considéré

Nous appliquerons la formule du rayon de courbure à deux exemples.

115. — I. rsous prendrons pour premier exemple l'ellipse. De l'équation de cette courbe

— t-T-.= i, on tire d'abord v'= ;•-

d'où

b* fy-x^i'\^ l /aY±b^\^ J^ P.'.r suite,

AI'PLICATIOiNS GÉOMÉTRIQUES.

On trouve, par exemple, que pour

llj

a; = 0 et y = b, on a p = — ;

et que, pour

x = a et y^=^0^ on a p:=

Fi?.

Mais on peut déduire de la formule (3) une construction géométrique. Soit M le point où l'on veut déterminer le ra^on de courbure ; on joint ce point aux deux foyers F et F' ; on mène la bissectrice MN de l'angle FMF' ; c'est la normale au point M; par son pied IN on lui élève une perpendiculaire NI terminée à l'un des rayons vecteurs MF' ; et au point I on élève une perpendiculaire IG à ce rayon vecteur ; le point G oià elle coupe la normale est le centre de courbure correspondant au point M; et MG est le rayon de courbure.

En effet, menons l'ordonnée MP. La sous-normale NP a pour valeur

M = y}l' = nx — = -,

•a valeur de la normale MN est donc

= SJW + NP* = Jf + %= 'JoYj+J^^ \ a* fr

Soit? l'angle NMF'; on a