MN MI , ,,^ MN
MI=: , MGr= , donc MC^ r-.
cosç cos 5) cos 9
Or l'angle ç est la différence des angles MNA et MF'A, qui ont respectivement pour tangente
"^ et -L.
b*x x-hc
0 n a donc
b^x x-^c a^y (x -+- c) — h-xij
"g <? — ^ ^^2y, — aY-^b'x^-{-'b'cx
b x{x-hc\
âxy -+- a^cij cy
a"b^ -\- b-cx 6* *
Par conséquent,
cob 0
1 -+- tang«5 b' + chf aHf + 6V* Substituant ces valeurs dans l'expression de MC, on obtient
^p y/oY+Vx- aY -+- b'x* ( (hf + b'x-) ^ ^^- a* ^ a^b^ — a^b^ "P'
ce qui justifie la construction.
Cette construction est applicable à l'hyperbole et à la
parabole.
116. — II, Nous prendrons pour second exemple la cycloïde. De ses équations
X = V\{x — sina), y = R (1 — cos a),
on a tiré au n° 105, II,
, sina
1 — cos a
On en déduit
, . ,, (1 — cosa)*H-sin*a
(i — cos aj- 1 — COS a'
APPLICATIONS GÉOMÉTIUQUES. 117
on trouve ensuite
j , (l — cosx)co.sa — sin a . sin a , d%
dy' = ^ — '- r^ d% = — -. ,
(1 — cosa)* 1 — cosa
on a d'ailleurs
dx = R (1 — cos a) dx.
Par conséquent
^ dx R * (l —cosa) *
Substituant dans l'expression du rayon de courbure, on obtient
p = -f- ^ — î^— ^- = 2R v/2 v/1 —cos a=4R sin •- a. RTI — cosa)«
Or, si l'on se reporte à la figure du n° 103, on reconnaît que l'on a
MA = 2Rsin|a.
Donc
p = 2MA,
c'esl-à-dire que dans la cycloide le rayon de courbure est le double de la normale.
§ 4. — DÉVELOPPÉeS DES LIGNES PLANES
119. — On appelle développée d'une courbe plane le lieu géométrique de ses centres de courbure. Soit ABCDE.. une courbe plane quelconque; et soient A, B, C, D, E,... des
Fis. 14.
bure de ces arcs (115)
points très-rapprochés sur celle courbe. Menons par ces points
les normales Afl, Bt, Ce, J)d, Ee;... ces normales iormeront par leurs intersections successives une ligne polygonale abc (le — Concevons maintenant que les arcs AB, BC, CD,DE,..deviennent infiniment petits ; les points G, &, c, d, e^... deviendront les centres de couret la ligne polygonale abcde... deviendra une courbe continue, lieu de ces ccnties de courbure. C'est cette courbe que l'on appelle la déveîcppée de la courbe ABCDE,... laquelle prend le nom de déieloppante par rapport à la courbe abcde Voici l'origine de ces dénominations.
Remarquons d'abord que si les arcs AB, BC, CD, DE,... sont infiniincnt petits, on peut écrire (115) oA =flB, bB=bC; cC = cD ; dJ) = dE\... Cela posé, imaginons que l'on enroule sur la courbe abcde... un fil flexible mais inextensible dont une extrém.ilc aboutisse en A ; puis, supposons qu'on la déroule en le tenant toujours tendu, cl en faisant marcher son extrémité libre A dans le sens de la flèche, l'autre extrémité étant fixée quelque part sur la courbe abcde. L'extrémité A décrira d'abord un élément de cercle ayant son centre en a; cet arc de cercle passera par le point B, puisque flA = f/B;etil se confondra avec l'élément AB de la courbe donnée, puisqu'il a pour centre le centre de courbure a de cet élément. Quand l'extrémité libre du fil sera parvenue en B, sur le prolongement de l'élément flt, le mouvement changera, et l'extrémité libre décrira un élément de cercle ayant son centre en b ; cet arc de cercle passera par le point C, jiuisque b?j = bC; et il se confondra avec l'élément BC de la courbe donnée, puisqu'il a pour centre le centre de courbure b de cet élément. Qu^iid l'extrémité libre du fil sera venue en C, sur le prolongement
APPLICATIO.NS GEOMETRIQUES. 11&
de l'élément bc, le mouvement changera encore; l'extrémité libre décrira un élément de cercle ayant son centre cnC ; cet arc de cercle passera par le point D, puisque cC = cD, c! il se confondra avec l'élément CD de la courbe donnée, puis(|u'il a pour centre le centre de courbure c de cet élément. En continuant ainsi, on voit que l'extrémité libre du fil décrira une série d'arcs de cercles ayant leurs centres sur abcde... et qui se confondront avec les éléments successifs de la courbe donnée ABCDE.... En définitive, elle décrira celte courbe d'un mouvement contiim.
Ainsi, une courbe donnée quelconque ABCDE... peut toujours être considérée comme décrite par l'extrémité libre d'un fil enroulé sur la courbe abcde... lieu de ses centres de courbure. Dans ce mouvement le fil enroulé se développe; d'où les noms de développée et de développante donnés aux courbes abcde... et ABCDE....
Il résulte de ce mode de description que, dans toutes ses positions, le fil est normal à la courbe ABCDE,... puisqu'il est normal aux éléments de cercle avec lesquels elle se confond; en même temps le fil est tangent à la courbe abcde., . puisqu'il est toujours le prolongement d'un de ses éléments. On peut d inc dire que toute tangente à la développée est normale à la développante .,ei réciproquement, toute iiormale à la développante est tamjente à la développée.
118. — Ces considérations géométriques pourraient suflire à la rigueur jour établir les propriétés de la développée. iS'éanmoins, il est utile d'en donner la démonstration analytique.
On a vu au n° 114, II, que le centre de courbure répondant au point d'uiiecourbe donnée, dont les coordonnées sonta^ety, est situé sur la normale en ce point à cette courbe, et sur la normale infiniment voisine menée par le point dont les coordonnées sont X -h dx el y -\- dy , c'est-à-dire que le lieu dos centres de courbure est le lieu des intersections successives des normales à la courbe proposée, ou, en d'autres termes, que la développée est lenveloppe des normales à cette courbe. Or,
120 PREMIERS ELEMENTS DU CALCUL INFuMTESIMAL.
an a démontré, au n° 107, que l'enveloppe est tangente à chacune des enveloppées. Il est donc démontré que la développée d'une courbe est tangente à chacune des normales à cette courbe, et le point de contact est le centre de courbure répondant à chaque normale.
Cela posé, soient X, Y les coordonnées du centre de courbure répondant au point x, y de la courbe proposée, et soit p le rayon de courbure en ce point. On aura
Différentions les deux membres, il viendra, après avoir divisé par 2,
ç(h = {\~x]d\-\-{Y — y)dY-[{\—x)(Jx-h{Y—y)(lij].
Mais la quantité entre crochets est nulle, attendu que le point X, Y est situé sur la normale [104 (9)]; il reste donc, en divisant par p
appelons tu l'angle que la normale fait nvec l'axe des x, ï\ms aurons
= COS{0 et ^rrrsnio),
et l'équation (1) pourra s'écrire
(2) rfp^f/X cosu) H- rfYsin 0).
En même temps, si dS» représente l'élément de la développée, nous aurons aussi, attendu que cet élément a la direction de la normale à la courbe donnée,
-7ô = cos 0) et -7-; =sin w.
d^ db
Si l'on met pour cos to et sin w ces valeurs dans la relation (2), elle devient
' ' db db db
Cetle relation exprime que la longueur de l'élément de la développée est précisément égale à l'nccioisicment infiniment petit du rayon de courbure, ce qui justifie le mode de description de la courbe indiqué plus haut, et la dénomination de développée employée pour désigner le lieu des centres de courbure.
119. — C'est en con-idérant la développée comme l'enveloppe des normales à la courbe donnée qu'on obtient l'équalion de cette développée.
Soit ])=:( \x) l'équation de la courbe donnée. On a vu ,102) que l'équation de la normale à cette courbe est
ou
Cette équation est l'équation commune de toutes les normales; l'abscisse x du point de contact doit y être considérée comme un païamètre variable qui particularise la normale. Pour avoir l'équation de l'enveloppe des normales il faut donc, conformément à la règle exposée au n° 107, éliminer j; entre l'équalion (1) et sa dérivée prise par rapport à x.
Au lieu de remplacer y et y' en fonction de a:, dans l'équation de la normale, il peut être parfois plus commode d'introduire partout y ; il faut alors éliminer y entre l'équation do la normale ainsi préparée, et sa dérivée prise par rapport à y, regardée comme variable indépendante.
Nous donnerons quelques exemples du calcul qui conduit à l'équation de la développée.
120. — I. Nous prendrons d'abord pour exemple la parabole y^=z'2px.
L'équation de la normale est
ou, en remplaçant x en fonction de y,
DU bien
î/' + 9]) ip — X) y — 2]}^' = 0.
Diffcrcntiant par rapport à y, on a
Il reste à éliminer y entre les équations (1) et (2). Pour cela on lire de (2)
et en substituant dans (1 ), il vient
2y-^ = — 2y}^Y, d'où if=^yY\
Substituant dans (2) on obtient
ou
8 {\-pY ^ -'27'~17 ^'
c'est l'équation de la développée. Elle a la forme représentée par la figure 15.
Nous ne nous arrêterons pas à sa discussion.
H. Nous |)rendrons pour second exemple l'ellipse , parce que , pour oblenir lïquation de la développée sous une forme simple, il convient de suivre une marche pai ticulière.
L'équation de la normale est
ou
Fig. i;
Prenons la dérivée par rapport à x, en regardant!/ comme fonction de a;; nous aurons
r. «^ fxy' — j/\ c^ ,
ou
