in{xy'~y) — c'-xY
b^x Mettant pour y' sa valeur , il vient
0 = rt'X y
d'où
et par suite
a'I.a'b^ âb^x'
flX\2 c-/ '
Gr on trouverait par un calcul analogue
il suffit pour cela de remplacer x par y, X par Y, a par&, h par a, et de changer par conséquent le signe de c*. Ces valeurs, mises dans l'équation de l'ellipse, donnent
ou
Fis. 16.
Telle est l'équation de la développée de l'ellipse; celte courbe a la forme indiquée par la figure 16.
lil. Nous chercherons encore la développée delà cycloïde, parce (lu'elle peut s'obtenir par des considérations {iéomélriques très-simjiles. Soit OUB (fig. 17) la cycloïde considérée; M l'un de ses points; la position correspondante du centre du cercle générateur ; A son point de contact avec l'axe OX. Traçons le cercle C symétrique
du cercle C par rapport à OX; et tirons MA, qui rencontrera le cercle (/en M'.
A cause de la symétrie on nnra évidemment AM' =:
V M , et par conséquent MM' = 2MA. Le point M' sera donc (116) le centre de courbure de la cycloïde correspondant au point M.
Cela posé, prenons OK = ttR , et menons IIKK' parallèle à
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. \-2h
l'axe (les y ; menons encore 00' parallèle à KK' , et O'K' parallèle à l'axe OX, et langent en A' au cercle C. Nous aurons
0'K' = 0K = 7:R, et 0'A' = OA.
()i' on a
arc AM = OA = arc AM',
puisqne les cordes AM et AM' sont égales à cause de la symétrie. Il en résulte
arc A'M' = xR — AM' = O'K' — O'A' = A'K'.
Donc le point M' est sur une cycloïde OM'K' ayant pour cercle générateur le cercle C; et qui serait engendrée par un point de la circonférence de ce cercle C roulant sur OX en sens inverse du roulement du cercle C. Or la courbe ainsi décrite, lieu des centres de courbure M' de la cycloïde donnée, est la développée de cette cycloïde.
Donc la développée de la cijcloide est une cycloide égale, qui se serait abaissée parallèlement à l'axe des y d'une quantité égale au diamètre du cercle générateur, et qui aurait avarice ou reculé parallèlement à l'axe des x d'une quantité égale à une demi- circonférence de ce cercle.
izobis. — On peut re-narquer que, d'après le mode de description d'une courbe fondé sur l'emploi de sa développée, il y a toujours une infinité de courbes qui ont la même développée; on les obtient en faisant varier la longueur du H l- enroulé sur cette développée commune. Toutes ces courbes ont les mômes normales; ce sont les tangentes à la commune développée; et la portion de normale comprise entre deux de ces courbes est constante dans toute leur étendue; en d'autres termes, ces courbes sont partout équidislantes.
Réciproquement, deux courbes qui ont toutes leurs normales communes et qui sont partout équidistantes, ont la même développée. Car si la première peut être décrite à l'aide de sa développée, en adoptant une cerlauie longueur de fil,
la seconde pourra être décrite à l'aide de la même développée en faisant varier la longueur du fil d'une quantité égale à la distance des deux courbes.
