POINTS SINGULIERS DES COURBES PLANES

iSfl. — On ap\>e\\e points sin'juJiers d'une courbe plane les points qui offrent quelque particularité indépendante du cboix des axes.

D'après celte définition, les points où l'ordonnée est maxima ou niinima ne sont pas des points singuliers, car ils perdent leur propriété quand on fait varier la direction des axes. C'est ainsi, par exemple, que le sommet du petit axe d'une ellipse, qui répond au maximum de l'ordonnée quand on rapporte la courbe à ses axes, perd cette propriété si l'on prend pour axes deux diamètres conjugués quelconques.

Nous supposerons d'abord l'équation de la courbe résolue par rapport à y.

Nous aurons à considérer les points singuliers que peut présenter une même branche de courbe; puis ceux qui résultent de la rencontre de plusieurs branches.

122. — Points singuliers que peut présenter une même branche.

I. Points (Vinflexion. Nous avons déjà eu occasion de parler de ces points au n° 111; ce sont ceux où le coefficient angulaire de la tangente f [x] passe par un maximum ou par un minimum, et où par conséquent f" [x] devient nul ou infini. Nous avons donné pour exemple du premier cas la sinusoïde; on peut prendre pour exemple du second cas la courbe

9 ^ y = h-hx-hj^x\

APPLICATIONS GÉOiMÉTKlQUES. 127

On tire de celte équation

SX Pour X =: 0, ou trouve

Le point M qui répond aux coordonnées x=0 et .'/=:/t,

estun point d'inflexion. Le coeflicietit angulaire!/' est décroissant pour ic négatif et croissant pour a; positif; il passe donc par un minimum poura;=0; la seconde dérivée y" prend alors une valeur infinie.

On peut remarquer que quand ij" est nul , le rayon de courbure p (114) devient infini; et quand y" est infini, le rayon de courbure est nul. On voit donc qu aux points d'inflexion le rayon de courbure devient nul ou infini.

aa». — II. Points d'arrêt ou de rupture. Ces points sont ceux où l'ordonnée passe brusquement d'une valeur finie à une valeur infinie ou à une autre valeur finie.