I. Soit, par exemple, la courbe

Si l'on fait varier x de — oo à 0, î/ est positif et augmente de 0 à 1 , ce qui donne la branche ak. Si l'on fait varier x de H- oo à 0, y est négatif et augmente de 0 à l'infini, ce qui donne la branche ch. Pour ic = 0, on a donc ou une ordonnée finie 0A= 1 , ou une ordonnée négative infinie en valeur ab-

Fiir. 19.

solue. Ainsi l'ordonnée passe brusquement d'une valeur finie à une valeur infinie.

H. Soit en second lieu la courbe

M = arc . tani-' -;

Si l'on fait varier a; de — oo à 0, i/ est négatif et varie

de 0 à — -^. Si l'on fait varier

x" de -i-oo à 0, ?/ est positif

s et varie de à 0

.Ponra;=0

Fiy. 20.

l'ordonnée passe donc brusquement de la valeur finie

— ^ à la valeur finie + ^.

Ce genre de points singuliers ne se rencontre que dans les courbes transcendantes.

i«4. — III. Points saillonts. On nomme ainsi les points où le coefficient angulaire de la tangente passe brusquement d'une valeur finie à une autre valeur finie, et où par conséquent la courbe semble se briser et former un angle dont le somm( t est le point saillant.

Soit, par exemple, la courbe

î/ = /iH-a;.arc tanq -.

On tire de cette équation

y' = arctang--^-^,.

Or, on vient de voir que pour a;=0 celte fonction passe brusquement de la valeur — ^ à la

valeur -f- ^. La com be se brise donc au point A, qui devient

le sommet de l'angle formé par les deux parties consécutives de la courbe; ce sommet est le point saillant.

Ce genre de points singuliers ne se rencontre également que dans les courbes transcendantes.

125. — Points singuliers résultant de la rencontre de plusieurs branches.

I. Points multiples. Ces points sont ceux où deu.x branches de courbe se croisent. Cela arrive lorsque y a deux valeurs distinctes qui se confondent pour une valeur particulière de X, et qu'en même temps y' conserve deux valeurs distinctes.

On peut prendre pour exemple l'équation

-^sJ'V

d'où y' =

■la

Pour a; = 0 on trouve

et y

La courbe a la forme indiquée (fig. 22) ; le point 0 est un point multiple.

Ces points se rencontrent dans les courbes dont l'équation contient des radicaux d'indice pair.

126. — Il peut arriver que les deux branches de courlie au lieudesecroisersoienltangentes. Le point de contactestalorsce rpron aj)pelleun point multiple avec contact, et il est dit de première ou de deuxième espèce , suivant que les deux branches sont situées de part et d'autre de leur tangente commune ou d'un même côté de cette langenle,

PREMIERS ÉLÊME.NTS DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

Ce qui caractérise ces | oints, c'est d'abord que deux valeurs distinctes de î/ se confondent en une seule; que deux valeurs de y' se confondent également en une seule; et lo point est de première on de deuxième espèce, suivant que sur les deux branches y" a des signes différents ou le même signe.

Comme exemple d'un point multiple avec contact de première espèce, on peut prendre la courbe (fig. 23

On a dans ce cas

4x 4- bx^

S-h24x-]-\Dx'

4 [i-hxy

Pour j;=0, on trouve

y=0, y'=0, et y" =±'2.

Les deux valeurs de l'ordonnée se réduisent à une seule; il en est de même des deux valeurs de y'; quant aux deux valeurs de y", elles restent distinctes et de signe différent ; le point 0 est donc un point multiple avec contact de première espèce.

Comme exemple d'un point multiple avec contact de deuxième espèce, nous prendrons la courbe ifig. 24),

Fi.'. -20

y = X- -i- ^x"-\ i-hX.

On a dans ce cas

Fi'. 24.

APPLICATIONS GEOMETRIQUES. 151

Pour a; = 0, on trouve

les deux valeurs de i/ se réduisntif encore à une seule, il en est de même des valeurs de y'; mais les deux valeurs de ?/" restent distinctes et ont toutes deux le même signe.

Le point 0 est donc bien un point multiple avec contact de deuxième espèce.

127. — II. Points de rebroussement. Ce qui caractérise ces points, c'est que l'ordonnée est imaginaire, soit en deçà, soit au delà; qu'elle a deux valeurs distinctes, soit au delà, soit en deçà, qui se confondent en une seule au point considéré, et que le coefficient angulaire y' a aussi deux valeurs distinctes qui se confondent en une seule en ce point. La courbe présente donc au point de rebroussement deux branches tangentes entre elles, mais qui ne s'étendent que d'un côté de ce point. Le point de rebroussement est âi\i de première ou de deuxième es\ièce^ suivant que les deux branches sont situées de part et d'autre de leur tangente commune ou d'un même côté de cette tangente, ce qu'indique le signe de y".

Soit (fig. 25) l'équation

on en lire

et y"=^/X'

Pour x = 0 on a !/ = /«, ?j'=l; d'ailleurs y devient imaginaire (ainsi que y') pour les valeurs négatives de x. De

plus y" a un signe différent sur les deux branches. On a donc au point A un point de rebroussement de première espèce. Soit au contraire (fig. 26) l'équation

on en tire

y'=^^ +2x4- x% et y"^'2 -^ -^x.

Pour x=0, on a y = h, y' = ^: et

y est imaginaire pour les valeurs négatives de X. De plus, pour de trèspelites valeurs positives de x, les deux valeurs de y" sont de même signe. Le F'g- 26. point A est donc un point de rehroiis-

sement de seconde espèce.

128. — 111. Points conjugués (ou isolés). Ces points proviennent ordinairement d'une branche de courbe fermée qui se réduit à un point pour une valeur particulière d'un paramètre entrant dans l'équation de la courbe. Ils sont caractérisés parcelte circonstance que, en deçà et au delà, l'ordonnée "^ est imaginaire, jusqu'à une valeur convenable de x; et qu'au ^'s- -'• pointlui-mêmej/'cst imaginaire.

Soit, par exemple, la courbe

\,fx{x-ha) {x — b)

qui a la forme représentée par la figure 27.

APPLICATIO.NS GÉ0MÉTI5IQLES.

Si l'on fait l'hypothèse a=0, l'équalion devient

xix — b ,, , , 7)x — 1b

Poiirj;:^0 on a y^O. Mais pour ^ /

des valeurs positives de x moindres que &, ou pour dos valeurs négatives de cette variable, y est imaginaire. Au V^ ^

point 0 lui-mcme(lig. 28), tj' est ima- \^

ginaire. Ce point est donc un itoint pi„ qg

coujugné.

129. — Supposons maintenant (jue i'cqualion ne puisse pas être résolue par rapport à y; soit f{x^ y) = 0 cette équation.

Rappelons -nous qu'on on déduit par la différentiation (50, 5U)

^ ' ( X -^ (hj

ic)

dx'

"^ (Ixdy ^ dy-

dx''

ôy

di

dx dy

oy

dxdy- dy'\l

df) ^ dy

L'équalion («) donne y'; en substituant cette valeur dans l'équalion [b), on en tire y" \ et, en substituant les valeurs de y' et de y" dans l'équalion (c), on en tirerait y'"; et ainsi de suite.

U n'y a rien de particulier à remarquer pour les points singuliers que peut présenter une même branche de courbe.

Mais il peut arriver qu'au point que l'on considère on ail à la fois

^ = 0 et ^-0-

Dans ce cas, l'équation (ai qui donnait y' devient illusoire, et c'est alors l'équation [h) qui donne cette première dérivée,

attendu que le terme en y" disparaît, puisque -^= 0, c'est-àdire qu'alors y est donné par une équation du second degré.

Si les racines sont imaginaires, on a affaire à un point conjugue.

Si les racines sont réelles et inégaies, c'est un point multiple ordinaire.

Si les racines sont égales, il s'agit d'un point multiple avec contact, ou d'un point de rebrousscment. Si y conserve une valeur réelle en deçà et au delà du point considéré, c'est un point multiple; si y devient imaginaire en deçà on au delà, c'est un point de rebroussemcnt.

Dans les deux cas, Vespèce du point sera donnée par y", que l'on tirera alors de l'équation (c), attendu que y'" dispa-

raît, puisque -j- est nul. Si les deux valeurs de y" sont de

signe contraire, on aura affaire à un point multiple de première espèce ou à un point de rebroussement de première espèce ; si les deux valeurs de y" sont de même signe, ce sera un point multiple de deuxième espèce ou un point de rebroussemcnt de deuxième espèce.

Les détails qui précèdent suffisent pour les besoins de r3p[)licalion.