Y AX
Ay H-Az
Si l'on rapprocbe indélinimcnl le point M' du point M, la corde/ de l'arc MxM' tendra vers l'arc lui-même, que l'on représente par ds, en môme temps que A.r, ày, Az tendront respectivement vers dx, dy, dz. On aura donc
ds = lim . \^/ax- -\- Aif- -+- Az^ , ou
(2) ds=s/dx^-hdy' + dzK
L'arc infiniment petit ds est ce qu'on nomme un élément de la courbe.
156 PREJIIERS ÉLÉMENTS DU CALCIJL 1^FINITÉ5^1MAL.
Si l'on prend % pour variable indépendante, on peut écrire
v'ii
ou, en tirant — cl -p des équations (i) de la courbe
(5) ds = ^W{z)Y+W{z)Y--^l.
i»8. — Tangenle. Les équations de la droite qui joint les points M, M' ayant pour coordonnées
x,ij,z, et x-hAX, yH-Ay, ^+A^-,
sont, en désignant par X, Y, Z les coordonnées courantes,
l-x = ^{l — z), et Y—y.= ^{Z-z).
Si l'on fait tendre M' vers M, la sécante MM' ten Iva vers la tangenle en M ; en même temps
AX' , Aw ^ , . dx , du
— et -^ , tendront vers -;- et -7^ :
àz ^z d-z dz
les équations de la tangente sont donc
(4) \-x = j^a-z), et Y-y=|^Z-z).
On peut les écrire symétriquement sous la forme dx dij dz
On remar(|ucra que les équations (4) sont celles des tangentes aux courbes représentées par les équations (1); ainsi la projection de la tangente à une courbe esi tangente à la lirojection de cette courbe, ce qu'il était aisé de prévoir.
AITLICATIONS GLOMÉTniQUES. 157
Considérons les points de la courbe et de sa tangente i|Lii correspondent à l'ordonnée z-f-/t, h étant une (juantité infiniment petite. Soient x^, y^, z -h h les coordonnées du premier de ces points, que nous aj)pelieronsp; et Xj,Yj, « + /(, celles du second, que nous appellerons P. D'après ce (|ui a été expliqué au n° 99, la dilféreiice \--x^ sera un infiniment petit du second ordre, si la courbe n'éprouve pas de discontinuité au point que l'on considère; et il en sera de même de la différence Y^ — y^. On en conclut aisément que la distance des points P et p est elle-même un infiniment petit du second ordre, car cette distance c a pour evpression
Or, d'après ce qu'on vient dédire, h étant l'intiniment petit principal, les différences Xj — x^^ et Y^ — y^, sont de la forme kir et k'h^, k et k' étant des coefficients finis. On a donc
quantité infiniment petite du second ordre.
On forait voir, comme au n° 99, que la tangente au point x, y, z ne passe pas par le point x-\-(lx, y-f-rfy, z-hdz, et que si ces dernières coordonnées paraissent satisfaire aux équations de la tangente, c'est parce -«lU'on néglige les infiniment petits du second ordre.
tszb'is. — On sait que six = rt5 4-/J, y=^bz--\- q^ sont les équations d'une droite, les cosinus des angles qu'elle fait avec les axes ont respectivement pour valeur
Si l'on applique ces formules à la tangent?, on aura donc, en désignant par a, [5, y les angles qu'elle fait avec les a.\es des X, des y et des z,
dx
dz dx
dx
\/(êy-Gi)'-^ "^-''^'^
et de même
dif . dz
COS3=-7^, et COSY=:^.
ds ' ds
fl33. — Plan normal. Toutes les perpendiculaires à la tangente menées par lepoint de contact sont des normales; le lieu de ces normales est un plan perpendiculaire à la tangente et auquel on donne le nom de plan normal.
Ce plan, passant par le point de contact dont les coordonnées sont x, j/, z, son équation esl de la forme
A{X — x)-hB{Y — y)-hC{Z — z) = 0.
Pour qu'il soit perpendiculaire à la droite, représentée par les équations (4), il faut qu'on ait
A=C4^ et B = C.^.
dz dz
Substituant dans l'équation précédente ces valeurs de A et de B , et supprimant le facteur G devenu commun , on obtient
\\ — x) dx + {Y — y) dy -h iZ — z) dz=0,
c'est l'équation du plan normal.
134. — Plans tangents. Tout plan mené suivant la tan gcnte porte le nom de plan tangent. L'équation générale des plans tangents est évidemment de la forme
(8) [{\-x)dz-{ï-z)dx]-hK[{\—y)dz~{Z — z)dy\=0,
APPLICATIONS GÉOMÉrRIQUKS. 159
car cette équation représente un plan, et ce plan contient !a tangente, puisque l'équation (8) est satisfaite en même temps que les équations (4| de la tangente.
Nous remarquerons encore ici que ce plan, qui passe par le point X, y, z, ne passe pas par le point dont les coordonnées sont X -+- dx, y -r- dij^ z -+- dz-, et que si ces coordonnées paraissent satisfaire à l'équation (8), c'est parce qu'on néglige les infiniment petits du second ordre.
135. — Plan oscillateur. I. Considérons trois points consécutifs M, M', M" sur la courbe; par ces trois points, qui ne sont pas généralement en ligne droite, on pourra faire passer un plan. Si l'on fait tendre les points M' et M" vers le point M, ce plan tendra vers une position limite; le plan qui occupe cette position limite est ce que l'on appelle le plan osculateur au point M.
Ce plan devant passer par le point M, dont les coordonnées Sont X, y, z, son équation est de la (orme
A {\ — xj -^B[\ — y) -hCa — z) =0.
Nous supposons X, y, et z fonctions d'une variable auxiliaire indépendante.
Si x-\-dx, y-\-dy, z^dz sont les coordonnées du point M', elles doivent satisfaire à l'équation du plan, ce qui donne
Adx-\-Bdy-^Cdz = 0.
Las coordonnées du point M" étant
