X -{- dx -h d-x, y -^ dy ^ d-y, z -{- dz -+- rf
elles doivent également satisfaire à l'équation du plan, ce qui donne, en ayant égard à la relation ci-dessus,
Ad^x -+- Bd~y -+- Cd-z= 0.
De ces deux dernières équations on tirera les rapports
H et pi et, en substiluanl pour A et B leurs valeurs en C
dans l'équation du plan, et supprimant le facteur C devenu commun, on obtiendra
f^^ ( {\ — x) {dy d'z — d: d^y) + (Y— y) {dz d'x — dx dh) *^M -h{Z — z){dxdhj — dyd^x) = 0,
c'est l'équation du plan oscillateur.
On en ferait disparaître les infiniment petits en divisant par rf,s', sis est la variable indépendante. ?i\x\x", y', i/",z-', z" représentent les premières et secondes dérivées de x, y ci z par rapport à s, on pourrait écrire
[l—x) {y'z" — z'y"} + {\ — ij) {z'x"—x'z")
-^{Z-z){xY-y'x") = 0,
équation qui ne renferme plus d'infiniment petits.
II. Le plan osculateur contient la tangente en M; car si l'on rempliice X — x, Y — y, Z — z par rfj", rfy, dz qui leur sont proportionnels en verlu des équations (5) de la tangente. tous les termes de l'équation (9) s'cntre-Jétruisent. Le plan osculateur est donc compris parmi les plans tangents.
III. Si Ton prend z pour variable indépendante, il en résulte dz:^ constante et d-z=0. L'équation du plan osculateur devient alors, en divisant p-n dz^ :
(9 bis)
,v N d'il ,,, , dx ^ ' dZ' ^ -^ dz^
.„ , {dx dhf du rfV, ^
Sous cette forme, on reconnaît aisément que le plan osculateur au point M, dont les coordonnées sont x,y^ z, est parallèle à la tangente au point M' ayant pour coordonnées
dx d II X + dXy y 4- f/y, z-\-dz. En effet : -r- et -/ étant les coeffl-
iiy dz
API^LICATIONS GÊOMÉTRIQUI':S. 141
cienls angulaires de la latigciitc on M, ceiiv de la tangente en M' s'obtiendront en y changeante; en x -h dx et y en y -\- (hj ^ ce qui donne
dx d'x , , dii d'il , -r+T^dz et -y^-h-p4(/^.
dz dz' dz dz
Or, on sait que pour qu'une droite, ayant pour coefficients angulaires a et &, soit porallèle au plan qui a [)our équation
Ax-^V>y + Cz-h\) = 0,
il faut et il suffit qu'on ait
Art-f-r./; + C = 0.
Dans le cas qui nous jccupe, celte condition devient
d^ij [dx d\t , \ d\v fdy d^ii ,
dz- \dz- dz^ ) dz- \dz dz-
dx dry dy d-x\ „
dz ' dz'^ dz ' dz-J '
égalité qui est en effet satisfaite d'elle-même, attendu que les ternies du premier membre s'entre-dctruisent.
IV. On déduit encore de ce qui précède que la plus courte distance des tangentes menées en Met en M' est un infiniment petit du 3* ordre. En effet : cette distance n'est aulre chose que la distance du plan oscillateur à la tangente en M' qui lui est parallèle. Il faut donc démontrer que celle-ci est un infiniment petit du 3e ordre. On simplifie la démons! ration en prenant la tangente en M pour axe des 2, le point M pour origine, et le plan osculateur en ce point pour plan des zx. L'équation (9 bis) du plan osculateur se réduit alors à
dz^ dz
car on a j; :^ 0, y = 0, 2 = 0, puisfjue l'origine est en M, et
f^'^ A ^^\i n ■ ni
— = 0 avec -yi := 0, puisque l'axe des z est une tangente.
Pour que le plan osculaleur se confonde avec le plan des %x, Bt que son équation se réduise à Y ^ 0, il faut donc qu'on ait
Cela posé, soit î/r=W(2) l'équation de la projection de la courbe sur le plan desyz; on aura par la série de Maclaurin (69)
y = W(0)-^W'(0)|-hW"(0) j^ + W"'(0)p|^+...
iMais W (0) est nul, puisque la courijc passe par l'origine; W (0) est nul, puisqu'elle est tangente à l'axe des z\ enfin, la
condition -^ = 0 revient à W" (0) = 0. Il reste donc
Donc si 2 est un infiniment petit du premier ordre, comme cela doit avoir lieu pour le point M' infiniment voisin du point M, l'or donnée y, qui mesure la plus courte distance du plan osculateur à la tangente en M', est un infiniment petit du 3* ordre,
H en résulte qu'en négligeant les infiniment petits du 5* ordre, on peut regarder le plan osculateur en M comme contenant les tangentes en M et M'.
135 bis. — Normale principale. On donne le nom de normale principale à la perpendiculaire à la tangente qui se trouve dans le plan osculateur. C'est l'intersection du plan osculateur avec le plan normal ; et l'on pourrait obtenir ses équations par cette considération. Mais il est préférable d'employer la méthode suivante, qui conduit aisément à diverses autres conséquences utiles.
Soient M et M' deux points infiniment voisins sur la courbe; MT et M'T' les tangentes en ces deux points. La dislance de la
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES Uô
tangente M'T' au plan osculaleur mené en M étant un infiniment petit du 3* ordre, on peut, en négligeant les infiniment |)clits de cet ordre, regarder M'T' comme contenu dans le plan osculaleur. Supposons que ce soil le plan de la figure. Soil C le centre de courbure en M de l'arc MM' considéré ainsi comme plan; menons CM et CM' ; la droite MC, normale en M (1 15), sera la normale principale. Par l'origine des coordonnées, menons les droites Ot et or para Hèles à MT et à M'T' et égales à l'unité, et joignons tt'. Le triangle MCM' peut être considéré comme un triangle rectiligne isocèle, dont l'angle en C est égal à l'angle de contingence, que nous représenterons par (/;, et dont les angles à la base sont aussi voisins qu'on le voudra de 90". Or, le triangle lOl' est aussi un triangle isocèle, dont l'angle en 0 est égal à l'angle de contingence; il est donc semblalile au triangle MCM'; et, puisque Ot et Ot' sont respectivement perpendiculaires aux normales MC ctM'C, il faut que le troisième côté tt' soit perpendiculaire à MM', et par conséquent aussi voisin qu'on le voudra d'être parallèle à MC. La direction de la normale principale MC est donc en définitive celle de la droite tt', et tout se réduit à trouver cette dernière.
Pour cela , soient c, •^, t^ les coordonnées du point t ; ç 4- f/;, -^ -f- rfr;, t -+- dl seront celles du point t'. La distance (/:: de ces deux points sera exprimée (loi) par
Jj = \ (/;- -h dr,- -i- (/;*;
et si )., 'j., V désignent les angles que il' fait avec les axes, on aura (152)
dz
ac
ces K=-z — C03 U.= ,- 1 C03 V ^ — , .
as d- de
144 PREMIERS ÉLÉMENTS DU CiVLCUL INFIMTÉSIMAL.
Or, a, [3, Y désignant les angles de la tangente MT ou de la parallèle Ot avec les axes, on a
^=Of.cosa, •/) = 0f . cos[3, C = 0^-COSY, ou simplement, puisque Of = 1 ,
^:^C0Sa, T,:=tOSi^, Ç=C0SY.
Maison a trouvé au n° 152
clx „ du dz
COS a ::=-,-, C0SS=:-j^, COS Y = "T •
ds ds ^ ds
On a donc
j. dx dy ., dz
et, par suite,
j- j dx , , dii ,„ , rf;5
d; = rf . — , drt = d. -p-, dC = d. y.
ds ds ds
Il est commode de prendras pour variable iiidépcndanle ; on peut écrire alors
La valeur de ds devient alors
dW ^ (d^:^
APPLICATIONS GÉOMÉl ROLES. 145
et Ton trouve enfin, pour les angles a, [;., v, les valeurs
