COS IJ

visy-

' \ds\i ■ \di,y

rrij ds'

ds'

ds- ,

La direction de la normale princi,)ale se trouve ainsi déterminée.

13G. — Raijoii de courbure. L'arc dz mesure l'angle tOt' dans le cercle dont le rayon est 1 ; c'est donc la mesure de l'angle de contingence MCM', On a donc, en désignant par p le ravon de courbure MC du cercle osculatcur m M (114),

.,,, d, 1 ,, , ds

(11) — =-, douû = — = • ' as 0 ' (/;

REMAf.QUE I. On remarquera qu'à l'aide de celte valeur on peut écrire les valeurs des cosinus des anules À, y., v de la normale principale avec les axes sous la forme

IH) C0SA=:3 y-,

ds'

COS IJ. = -yi; 1 COS V ^ p

d^ ds^

Remarque IL On peut observer aussi que les formules qu! précèdent sont applicables aux lignes planes; il n'y a de cil-

14G PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL liNFINITÉSIMAL.

férence qu'en ce que, dans ce cas, les résultats du calcul sont généralement plus simples.

13Î. — Seconde courbure. Deux plans osculateurs consécutifs font entre eux un angle dièdre infiniment petit, que nous désignerons par rfO, et que l'on appelle l'angle de torsion ou de seconde courbure. On assimile celte seconde courbure à la courbure d'un cercle, et l'on nomme rayon de seconde courbureXo. rayon d'un cercle dont la courbure serait équivalente à la torsion de la courbe considérée. Si pj désigne ce rayon de courbure, on pose par analogie

.■V X ,, , ds

-,=-, dou 0. = -^.

ds

Pi

Pour obtenir l'angle dO, il faudrait, dans l'équation du plan osculateur, changer x, y, s en x -\- dx , y ■+- dy , z -\- dz , et chercher l'angle des deux plans ainsi obtenus. Cet angle, que nous désignerons par dx, est l'angle de torsion correspondant à l'arc ds; la torsion par unité de longueur delà courbe

est donc, au point considéré, -7^; et son inverse -7- est le ' ' ds d-

rayon de torsion ou rayon de seconde courbure.

On peut encore suivre une autre méthode et employer des

considérations analogues à celles qui nous ont servi aux n°* 155 et 156. Nous renvcrions pour celle question, qui a peu d'utilité dans la pratique, à des traités plus étendus.

«38. — Application à l'hélice.

Nous supposerons que l'on prenne pouraxe des z l'axe de l'hélice, et que l'on fasse passer l'axe des x par un point A pris sur la Dourbe. Soit ABA' la trace sur le plan desiry du c\iindre fig. sa sur lequel l'hélice est tracée ; soit

r son rayon. Soit h le pas de l'hélice ; nous poserons

Soicnta; = OQ, y=:PO, 2=MP les coordonnées d'un point de la courbe, et soit w l'angle que le rayon OP fait avec OX. Les équations de l'hélice seront

(1?.) j; = rcoso), y = rsino), 2^ — w = r tangi . co.

On en tire

dx = — rsinwrfo), (/!/ = + rcosof/w, Jz = r tang j.rfw, ou

(/x = — y Jw, rfy = -h iK dt<), (h = r lang i .du). Par suite

ds = dbi i/r- + rHang*j = — -:.

* cos ^

Les équations de la tangente sont, en supprimant le facteur rfto,

— y __ g; rtang^ ^ ' \ — x~\ — y l — z'

On voit, en premier lieu, que la projection de la tangente sur le plan XOY a pour équation

{\-x)x-^{X-y)y = Q ou

Xx + Yy = r«;

c'est l'équation de la tangente PR au cercle de base, menée par le pied P de l'ordonnée du point de contact. On démontre cette propriété dans les Éléments.

On voit, en second lieu, que le cosinus de l'anale que la

tangente fait avec l'axe OZ de riiélice, c'est-à-dire -^. a pour ° ds ^

valeurlequolientde7'tangi par :, c'est-à-dire sin i, quantité constante. C'est encore une propriété connue.

Si l'on fait Z=:0 dans les équations de la tangente, on trouve