COS^Î

vA(^.)v(^„)'^

ce qui montre que la | rojection de la normale principale sur le plan des xy coïnci !c avec le rayon OP. La normale principale MN rencontre donc l'axe de l'hélice et lui est perpendiculaire.

Le plan osculateur se trouve dès lors détermin' par la tangente MR et par la normale principale MN ; il fait donc un angle constant avec cet axe.

Enfin, le rayon de courbure est «'onné par la formule

c'e^t une quantité constante. Il est facile d'en déduire que le lieu des centres de courbure est une hélice de même pas que la proposée , mais tracée sur un cylindre de même axe ayant pour rayon p — r ou rtang^/.

Dans Ihélice, Tangle de torsion et le rayon de seconde courbure peuvent s obtenir directement comme il suit. Soient M et M' deux points infiniment voisins sur la courbe. Concevons que par l'origine des coordonnées on mène deux droites respectivement perpendiculaires aux plans osculateurs en M et en M'; ces perpendiculaires feront avec Taxe de l'hélice des ;in-

gles égaux ai; et détermineront avec cet axe un angle trièdre dans lequel l'angle dièdre qui a pour arête OZ sera exprimé par f/o). L'angle des deux perpendiculaires sera d'ailleurs (/-. Si, dans la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique

cos a = cos b cos c H- sin b sin c cos A, on fait

a = d-, b = c = i et A = f/w, on trouve

cos cl- = cos* i H- sin^ i . cos rfw,

ou, attendu que (h et rfw sont infiniment petits ,

df o . . . „ . / . d(ù-

1 ^ = cos^ i -+- siu^ i il — — j ,

relation qui se réduit à

d'où

rft = sini.rfo).

Or

, ds.cosi

au = ' ]

il vient donc

, sin i cos if/s

d'où

rft sinicosi ds

ds r dz ' *

en appelant p^ le rayon de seconde courbure.