SURFACES COURBES. - NOTIONS SUR LA COURBURE

139. — Plan tangent. On sait qu'une surlace, quand on la rapporte à des coordonnées rectangulaires, est représentée par une équation entre ces coordonnées.

Soit

lÏMjualion de la surl'ace considérée. Si parle point M, dont les coordonnées sont a;, y, z-, on fait passer une courbe tracée sur la surface, courbe qui sera en i:énéral à double courbure, les équations de la tangente en M à celte courbe seront (lô^)

^, dx dif dz

iMais, la courbe étant tracée sur la surface, les dx^ dy^ dz, doivent salisl"aire à la relation qu'on obtient en différentiant l'équation (1), savoir (35^

^ ' dx dy ^ dz

Si, dans cotte dernière relation, on remplacera;, dy, Jz-par les quantités X — x, Y — ?/, Z — z qui leur sont proportionnelles en vertu des é(iuations ('2), on trouve

Celte relation entre les coordonnées courantes X, Y,Z de la tangente demeure la même pour toutes les tangentes que l'on peut mener à des courbes tracées sur la surface et passant par le point M. Elle représente donc le lieu de ces tangentes. Or, l'équation (4) étant du premier degré en X, Y, Z, représente un plan ; il en résulte ce théorème : toutes les tanyentes

menées par un même point cVune surface aux différentes courbes que ion peut faire passer par ce point sur la surface, sont dans un même plan. En raison de celle propriété, on donne à ce plan le nom de plan tangent. Son équation est facile à former quand on a l'équation de la surface.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de l'ellipsoïde doal l'équation est

On trouvera

(l[^^2x d/; 2|/ df 2z dx~ a- dij ~ b"-' dz~~ c*

cl l'équation du plan langent sera , en supprimant le facteur 2,

équation que Ton peut écrire

a- b- c' Dans le os de la sphère, on a

l'équation du plan tangent devient donc

Ix + Yy H- Zz = R%

et il est facile de vérifier qu'il Cst perpendiculaire au rayon dont les équations sont

X = -Z et Y=yZ.

Les angles que le plan tangent fait avec les plans coordonnés dcs.ry, des zx et deszy ont respectivement pour cosinus

dx

df

df dx.

dx] \dijj \dz

(Voy. les traités de Géométrie analytique.)

14». — !S'orm(de. On nomme ainsi la perpendiculaire au plan tangent menée par le point de contact. Ses équations sont faciles à établir. Comme la normale passe par le point dont les coordonnées sont x, y, z, ces équations sont de la forme

D'ailleurs, le plan tangent est représenté par ré(|uation (4) du numéro précédent. Or on sait que si une droite a pour équations

x = (iz-i- m , y=zbz-{- îi, et si un plan est représenté par

Ax-hBij-hCz-i-D = 0, les conditions de perpendicularité sont a = y7Ct 6 = tt. Dans

le cas actuel, on aura donc

df\ [df

dx . . \du et p =

dçx (dry

dz 1 \ dz

Par conséquent, les équations de la normale sont

dl d[