SURFACES ENVELOPPES
142. — Soit f{x, y, Zf a) = 0, l'équation d'une famille de surfaces qui ne diffèrent que par la valeur du paramètre a. Si
156 PREMIKRS ÉLÉMENTS DU CALCUL INFLMTESLMAL.
l'on change a en a -f- da, les deux courbes f{x, y, z, a) =0 , et f{x,tj, z, a-{-da) = 0, seront dites infiniment voisines l'une de l'autre. Leur intersection sera une courbe à laquelle on donne le nom de caractéristique. Le lieu des caractéris tiques ainsi déterminées par Tmlersection de deux surfaces infiniment voisines, faisant partie d'une même famille, est ce que l'on appelle l'enveloppe de ces surfaces.
La recherche de l'équation de l'enveloppe d'une famille de surfaces est tout à fait analogue à celle de l'enveloppe dune famille de courbes (106).
Soient
et
(•2) f{x,y,z, a-i-Aa) = 0
les équations de deux surfaces de la même famille; leur intersection sera représentée par l'ensemble des équations (1) et (2). Mais on peut remplacer l'équation (2) par la suivante, qui en est une conséquence.
fjx, y, z, a-]-\a)—f{x, y, ^. a) __q
Si l'on fait tendre la vers zéro, l'équation (5) tendra vers
et l'intersection des deux surfaces deviendra la caractéristique qui répond à la valeur particulière a. Pour avoir le lieu des caractéristiques, ou l'enveloppe cherchée, il suffira donc d'éliminer a entre les équations (i) et (4).
Ainsi, pour obtenir l'enveloppe d'une fimille de s.irfaces représentées par une écpiation telle pie f(x,y, z, a) = 0, il suffit d'éliminer le paramètre a entre cette équation et sa dérivée prise par rapport à ce paramètre.
Exemple I. Un plan se meut en passant constamment par
APPLICATIONS GEOMETRIQUES. 157
un })oint donné et en ilemcuiant à une distance constante d'un second point donné; on demande f enveloppe des positions de ce plan. Prenons le premier point pour origine, el faisons passer l'axe des z par le second point ; l'équation du plan raohih; pourra être mise sous la forme
(1) Xcosa-^Y>iiia4-/.Z = 0.
On voit, en effet, que ce plan passe par l'origine. De plus, sa distance à un point situé sur l'axe des z a une distance h de l'origine est exprimée par
kh
quantité constante qui peut être regardée comme donnée, ce qui détermine k. Le paramètre arbitraire est ici l'angle a. Si l'on dilfercntie l'équation (1) par rapport à ce paramètre, on obtient
('2 1 — X sin a -i- Y cos x r= 0 .
L'équation (1) peut d'ailleurs s'écrire
X cos 7. -1- Y sin a = — kZ.
Élevant au carré et ajoutant, on obtient
c'est l'équation d'un cùne à base circulaire, comme on pouvait s'y altendie.
II. TouverT enveloppe des splières de même rayon dont hs centres sont sur une circonférence donnée. L'équation de la spbère mobile est
en prenant pour axe des z la perpendiculnire élevée par le
centre du cercle donné sur le plan de ce cercle. En même temps on a
Éliminant d'abord (î entre ces deux équations, on obtient (2) x--^y^-hz-—^y.x — 2 \ Pr— a- . ij + R* — r- = 0. Différenliant par rapport à a, ou trouve, après avoir divisé par 2,
d'où
et
V^- — a- Rx
s,/x^' -+- if
yx- + y-
Substituant dans (2) et réduisant, on obtient (4) a-- 4- y' — 2R \/x'-hif + z' -+- Vv' — r' = 0,
c'c>t l'équation d'un tore, comme on pouvait le prévoir.
143. — Kn chaque point d'une caractéristique, le plan tangent est le même pour l'enveloppe et pour l'enveloppée. Soient, en elfet, Sj, S.^, S. trois surfaces consécutives de la même famille; AB l'intersection de S^ et Sj, A'B' l'intersection de S, et de Sj. Les deux courbes AB et A'B' seront deux caractéristiques infiniment voisines; par conséquent, deux courbes infiniment voisines sur l'enveloppe. Soit M un poii t quelconque de lacaracléristique AB ; joignons-le à un point M' infiniment voisin sur la caractéristique A'B', et menons MT tangent à AB en M. La droite MT, tangente à une courbe tracée sur la surface S^ et sur l'enveloppe, est tangente à ces deux surfaces. La droite MM', corde d'un arc infiniment petit, se
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Vj^
confond avec sa t^ingentc en M, c'eslà-dire avec une tangcnlc en M à la surface S, ou à l'enveloppe. Donc le plan des droites MT et MM' est tangent en M à la sur- ^ *ace Sj et à l'enveloppe ; donc ces deux surfaces ont le môme plan tangent au point commun M, Or, ce point M est un point quelconque do. la ca- Fig- 5i.
ractérisli(pie AB. Donc enfin rcnveloppc et l'enveloppée S, ont les mêmes plans tangents aux différents points de la courbe commune AB; donc ces deux surfaces sont tangentes le long de cette courbe. On en dirait autant d'une enveloppée quelconque.
Mais on peut aussi démontrer cette propriété par l'analyse.
Soit
(1) f{x,y,z,a)=zO
l'équation de la famille de surfaces considérée, et
l'équation de l'enveloppe résultant de l'élimination du paramètre a entre l'équation ( 1 ) /'= 0 et sa dérivée par rapport à a
L'équation du plan tangent en un point M d'une caractéristique, point situé sur la surface (1), est (139)
et l'équation du plan tangent au même point M, considéré comme situé sur l'enveloppe, est de même
Mais l'équation 's (x, y, s) = 0 n'est autre chose que l'cqualion (1) dans laquelle a est remplacé par sa valeur en
X, îj, z tirée de y- = 0 ; on aura donc les dérivées partielles
(J-Tj f^lp (J^--i
y;, y-, -j-, OU différeutiant l'équation (1), pouivu qu'on y
reiçardc a comme une fonction de x, ij, z. On trouve ainsi (29, 25)
ib df df da
dx ~~ dx da ' dx''
d'^ df df da
dij dij ' da' d\f
do df df da
dz dz da' dz'
Mais, en vertu de l'équation -J- = 0, quiestunedes équations de la caractéristique, ces relations se réduisent à
do ___ df do df do df
dx '" dx' d\j ~' dif dz dz'
Par conséquent, les équations (5) et (6) sont identiques. Ainsi donc, en tous les poinis d'une môme cnraclérislique l'enveloppe et les surfaces enveloppées ont les mêmes plans tangents. Donc enfin cliaque enveloppée est tangente à Venveloppe, et la caraclérisliqne est la ligne de contact.
Il serait facile de véiifier cette propriété sur les exemples traités plus haut.
