COURBURE DIS SURFACES
144. — Courbure des surfaces. Le mot courbure, appliqué aux surfaces, n'a pas en Géométrie un sens plus précis que
dans le lanf^age ordinaire ; et il n'existe aucune quantité n>athémalique qui en soit la mesure. On ju^e de la courbure d'une surface en un de ses points par celle des différentes lignes que l'on peut faire passer sur la surface par ce point.
On peut remarquer d'abord qu'il suflit de considérer les lignes planes tracées sur la surface. Car si AB est une courte à double courbure menée sur la surface parle point M, son plan osculateur, passant par les trois ^
points consécutifs M, M', M", délcr- ^ m.^'^
mine dans la surface une section v,--^*'^^'^ ^
plane ab qui a deux éléments consécu- yf tifs MM' et M'.\l"ou trois points cotisé- / cutifsM, M', M" communs avec AB, Fig. 32.
et qui, par conséquent, a le même cercle osculateur et le même rayon de courbure.
Nous allons chercher les relations qui existent entre Ica rayons de courbure des différentes lignes [)lanes que l'on peut mener sur la surface par un même point M.
fl45. — Théorème de Meunier. Soit MT une tangente quelconque menée à la surface par le point M; et soit MN la normale à la surface au point M. Le plan TMN sera un plan normal (141).
11 coupera la surl'ace suivant une courbe AB, que l'on appelle une section normale, et dont le centre de courbure sera en un certain Fi^
point C sur MN. Nous désignerons par p^ le rayon de courbure MC de la section normale AB.
Parla même tangente MT, faisons passer un second plan; il coupera la surface suivant une courbe ab, que l'on peut appeler une section oblique ; son centre de courbure sera situé en un pointe sur la normale M?i à cette courbe. Nous dé>ignerons par p le rayon de courbure Me de la section obliiiueflô.
162 PREMIERS ÉLÉMEiMS DU CALCUL INFmiiÉSIMAL.
Soit V l'angle des deux normales MN et M/i.
La première de ces normales, qui est la normale à la surface, fait avec les axes coordonnés des angles dont les cosinus ont respectivement pour valeur (140)
V jf- + q' -f- 1 ' V v' + fy' + 1 ' s /'' -f- <f + 1
La seconde, qui est la normale principale de la couibe ab, fait avec les mêmes axes des angles qui ont pour valeur (156)
d'-x (IHj dh Prf?' Prf?' ^d?'
Or, on sait que si deux droites font avec les axes, l'une des angles «, h, c, l'autre des angles a',b',c\ l'angle V de ces deux droites e.^t donné par la relation
cos Y =: cos a cos a' -+- cos b cos b' + cos c cos &. On a donc, dans le cas actu'd,
,, ^ ' as- " ds- dscos V = =
V'ir + 7^+1
d-x dhj dh ^^d^'^^ds''~d?
\/jf--{-q'^[
Mais la courbe ab étant tracée sur la surface, dont l'équation peut être supposée donnée sous la ïorme z = f [x, y) ^ on peut appliquer Téquation (9) du n" 57 , en prenant, au lieu d'une variable indépendante et quelconque, l'arc s de cette tOurbe. On peut donc écrire, en mettant s à la place de a, et s^ à la place du coefficient différentiel s, pour éviter toute confusion,
d^z- [dX\^ ^ dx du fdii\^ d^x dhi
-7?= '-y +^-''rf?-S + '(i +'',7? + ''d^-
APPL'.CAHO.NS GÉOMÉTRIQLES. 163
On tire de cette relation
Pds^ ^ ^ ds-^ ds- L Us } + ^ '» ds ' ds "^ ^\Ts) J' et, en substituant dms (l),
^^^ cosV=p.
Êf-^^A^-È)^'Ê)
Concevons maintenant (,ue Ion lasse varier la section oblique menée par la tangente MT, l'angle V variera; il en sera de n-ènie de p; mais les deux points M et M' ne cessant pas d'appartenir à la section oblique, les accroissements
dx, dij, dz ne changeront pas; les coel'ficients -y-, -j^ resteront donc les mêmes. D'ailleurs les coeflicients p, f/, r, s, t qui ne dépendent que de x,y, n'auront pas varié. Il en résulte que la quantité qui multiplie p dans le second membre de l'équation (2) conservera sa valeur ; en la désignant par K on peut donc écrire
cos V =^ p .K,
Celte formule, étant générale, aura lieu encore pour V = 0, auquel cas la section considérée se confondant avec la section normale, p se changera en p^. On {)eut donc écrire aussi
En divisant ces deux égalités membre à membre on en tire
cûsV=-, d'où o = pgCos\\
Po
ou
I\Ic = MC .cos V,
ce qui montre que le rcnjon de courbure de la section oblique
i;.4 PliLMlERS ÉLÉMENTS DU CALCUL INFIMTÉSIMAL.
est la projection, sur le plan de cette section, du rayon de courbure de la section normale. É
Cette proposition remarquable est connue sous le nom de Théorème de Meunier .
On peut lui donner une forme encore plusfra[)pante. Si l'on décrit une sphère de C comme centre avec MC pour rayon, le plan TM/i la coupera suivant un petit cercle dont le centre sera c. Aiîisi, les cercles suivant lesquels les divers plins qtCon peut mener par une même tangente coupent cette sphère sont les cercles osculateurs des sections correspondantes.
146. — Indicatrice. Avant de comparer les courbures des sections faites suivant une même normale, il est utile d'établir une propriété des surfaces dont nous aurons à faire usage.
On nomme indicatrice d'une surface courbe en un point I donné de cette surlace, son intersection avec un plan mené ' parallèlemonl au plan tangent à une dislance infiniment petite de ce plan. — Comme il s'agit d'étudier une propriété indépendante du choix des axes, on simplifie le calcul en prenant pour plan desxy le plan tangent lui-même, et pour axe des 2 la normale. Quant à la direction des deux axes des x et des y, nous la laisserons indéterminée pour le moment.
Soit z^:=f{x,y) l'équation de la surface rapportée à ce système d'axes. I
On a vu (71) qu'en développant la fonction f [x, y) par la formule de Maclaurin on peut écrire
\dx-J \dxdyJo "^
Si Ion faitz^/i, la lettre h représentant une quantité infiniment petite, positive ou négative, on aura l'équation d'un plan parallèle au plan tangent et infiniment voisin de ce plan ; son intersection avec la surface sera donc l'indicatrice;
et comme celle-ci se projette en vraie grandeur sur le plan (les xij qui lui est parallèle , on aura son é(jualion en rcmplnçanl z par h dans l'équation (l). Mais cette équation peut être simpliliée. En premier lieu, h étant infiniment petit, il en sera, en général, de même des coordonnées x et y des points communs à la surface et au plan z-=h; on pourra donc négliger les termes alfectés des puissances de xet de y supérieures à la seconde. En second lieu, la surface passant par l'origine, on a /■(0,0) = 0. Enfin, le plan dos xy étaiitle plan tangent,
les dérivées partielles -j- et -j- s'annulent pour l'origine ,
c'est-à-dire pour a; ^0 et 1/ = O.Car il faut (jue l'équalion du plan tangent, qui, dans le cas de z =.f [x, y) est
se réduise a Z= 0 pour j; = 0, y = 0, 2-=0, indépendamment de X et de Y, ce qui exige que les termes en X et Y disparaissent. Si donc on pose pour abréger
il restera pour l'équation de l'intlicaîricc
2h = r,x' + 1s,xy-ht,if-.
On peut même la simplifier encore, car, la direction des axes des x et des y étant jusqu'ici indéterminée , on peut la choisir de manière à faire disparaître le terme en x y. Il reste alors
(•2) ^2h=:^r,x--hl,y\
t^i. — Si /'(, cl Îq sont de morne signe, il huit, pour qu3
166 PREMIERS ELEMENTS DU CALCUL IiNFlNITËSIMAL.
celle équation représente une courbe réelle, donner le même signe à /i ; ce qui veut dire qu'aux environs du point de contact la surface est tout entière d un même côté du plan tangent. L'indicatrice est alors une ellipse. Elle se réduit à l'origine pour h:=^Q.
L'ellipsoïde, le paraboloïde elliptique et l'hyperboloïde à deux na])pes offrent l'exemple du cas dont nous parlons.
Si Tq et Îq sont de signe contraire, on peut donner à h le signe + ou lesiune — . Ainsi la surface s'étend alors des deux côtés du plan tangent. — Pour h positif ou pour h négatif, l'indicatrice est une hyperbole; mais les deux hyperboles, projet es sur le plan des xy, sonl conjuguées ; c'est -à-dirc qu'elles ont les mêmes asymptotes ; mais que si l'une est située dans le premier et le troisième angle des asymptotes, l'autre est située dans le deuxième et le quatrième. Elles se réduisent toutes deux à leurs asymptotes pour /i = 0, L'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique offrent l'exemple de ce cas.
Si l'on a r(,=:0, l'indicatrice se tu...,, ose de deux droites parallèles à l'axe des a; et infiniment voisines. Elle se réduit à l'axe des x pour h = 0.
Si l'on a ^o^^O, Tindicatrice se compose de deux droites parallèles à l'axe des y, et elle se réduit à cet axe pour /i=0. Le cylindre est un exemple de ce cas.
II en est de même du cône, parce qu'un plan infiniment voisin du plan tangent coupe la surface suivant une parabole qui dégénère en deux droites parallèles.
148. — Théorème d'Euler. Nous pouvons maintenant reprendre l'étude de la courbure des surfaces, et couiparer les courbures des sections planes faites suivant une même normale. — Supposons, comme tout à l'heure que 0 soit le point de la surface que l'on considère, que XOY soit le plan tangent etOZ la normale. Soit ZOU un plan quelconque mené suivant cette normale, et OA son intersection avec la surface. Soit M
APPLICAiIO>'S GÉOMÉTRIQUES. i67
un point de cette intersection tiès-voisin du point 0 ; soit MP son ordonnée. Joignons O.M ; menons Mil parallèle à OU, et MB perpendiculaire à OM. Enfin soit C le milieu de ÛB.
Lecercleqni, dans le plan ZOU,alepoint C jiour centre et CO pour rayon tendra vers le cercle osculateur de l'arc OA en 0, quand le point M se rapprochera indéfiniment du point 0. Car, dans le triangle OCM, l'angle en C tendant vers zéro, les angles égaux COM et CMO tendent vers 90" ; et par conséquent CM tend vers une perpendiculaire à la corde O.M, ou vers une normale à l'arc OM.
En appelant p le rayon de courbure de la section OA au point 0, on a donc t..., ^
p = 1 im . OC = lim . i OB = lim . I ( OU + ^^ = lim . j^ OU + imi , -^wYj-j.
Or
Donc
lim.-J 011=0.
,. Mil'
ou, en posant 011 = /i et MH = m,
p = lim.^
Mais si 6 représente l'angle XOU, 9 et m peuvent être regardés comme les coordonnées polaires du point M dans un plan
168 l'REMIERS ELEMENTS DU CALCUL INFlNiTÉSIMAL.
parallèle à XOY. Ce plan coupe la surface suivant l'indicatrice, dont l'équation est
x--{-tQif = 2h
ou, en coordonnées polaires,
u«(rocos«0-hfosin^6)=2/i
Or, à la limite, on a
d'où
Donc enfin
(o) - — r^cosH + ^oSin'O.
Supposons d'abord que l'indicatrice soit une ellipse. Soient R^ etH, le maximum et le minimum des valeurs oe p, correspondantes à 6^0 et à 6^90° ou vice versa ^ on aura
Par conséquent
(4) - = 5- cos-6 -f- ^ sin'O.
Changeons 0 en 0 4- 90° ; el soit p^ la valeur correspondante de p ; on aura de même
(5) i = ^sin^O+ icos^6.
Pi l'i A
API'LICATIO.NS GÉOMiLlRIQUES. It9
En ajoutant membre à membre les relations (4) et (5) , on obtient
P Pi ^V "ï
c'est-à-dire qnc la somme (les courbures de deux sections normales perpendiculaires entre elles est une quantité constante. La formule (6) est conmic sous le nom de théorème d'Eider.
Dans le cas où l'on aro=f(,, c'est-à-dire où l'indicatrice est un cercle, il en résulte P»j=Rj ; et l'on a p=:R^, indépendamment de Tangle 6. Les points d'une surface qui jouissent 'Je celte piopriélé que la courbure des sections normales est la même dans toutts les dirtctions portent le nom d'ombilics.
Dans l'ellipsoïde, par exemple, il y a quatre ombilics : ce sont les points où le plan tangent est parallèle à une section circulaire ; car, en ces points, l'indicatrice est évidemment un cercle.
14». — Supposons Tg et t^ de signes contraires ; en donnant à h des valeurs positives et négatives et opérant comme cidessus, on trouvera
(7) iz=± (lcos'0 lsiu-^9
Le rayon de courbure p a, dans ce cas, deux minimums Y\^ et R, répondant à 0 = 0 et à 6 = 90° ; et il devient infini
pour
ce sont les directions asymj totiques.
u^ En résumé, on voit, par la relation p ^^, que le rayon
de courbure d'une section normale est proportionnel au carré du rayon vecteur de lindicalrice.
170 PREMIEIS ELEMENTS DU CALCLL INFINITESIM.4L.
Les sections normales pour lesquelles le rayon de courbure est un maximum ou un minimum, portent le nom de sections principales, et les comljures correspondantes sont dites des courbures principales. En chaque point de la surface, les sections principales sont perpendiculaires entre elles.
La recherche des rayons de courbure des surfaces peut donner lieu à des cas singuliers, qui sont sans intérêt dans les applications, et pour lesquelles nous renverrons aux traités plus étendus.
150, — Lignes de courbure. On appelle ligjie de courbure d'une surface, toute ligne tracée sur cette surface, et jouissant de la propriété que les normales à la surface, en chacun des points de cette ligne, sont les génératrices d'une surface développable.
On sait qu'une surface développable est le lieu des tangentes à une courbe à double courbure, à laquelle on donne le nom d'arête de rebroussement. Soient M cl M' d 'ux points infiniment voisins sur la ligne de courbure, et dont les coordonnées sont X, î/, z, el X-+- dx, y H-rff/, z + dz. Soient N etN' les points où les normales à la surface menées en M et M' touchent l'arête de rebroussement de la surface développable. Celte arête de rebroussement étant une courbe à double courbure, ses tangentes en N et en N' ne sont pas dans un même plan, mais leur plus courte distance est un infiniment petit du troisième ordre (155, IV) ; si donc on néglige les infiniment petits de cet ordre devant ceux d'un ordre inférieur, on peut regarder les normales consécutives MN et M'N' comme situées dans un même plan, et comme concourant en un certain point C, dont nous désignerons les coordonnées p:ir X et V.
Supposons l'équation de la surface donnée sous la forme z = f{x,y), et désignons par p ciq les dérivées partielles de la fonction z, par rapport à ic et à y. Le point C étant sur la normale M^N', on aura, en vertu des équations de cette nor-
malc (140)
{\ — x)+p{Z—z)=0 et
Çi-y) + q{Z-z) = 0.
Mais le point C se trouvant aussi sur la normale M'N', il faut que ces deux équations subsistent quand on y remplacera les coordonnées X, y, z du point M par les coordonnées x-{-dx^ ij-\-dij, z-i-dz du point M', sans faire varier X, Y et Z, ce qui revient à dire que l'on peut égaler à zéro les ditférentielles des premiers membres des deux équations cidessus, en regardant X, Y, Z comme constants, et 2, bien entendu, comme fonction de x et de y, ce qui donne, en posant toujours
dp dp dq , dfi
dx ' dij dx ' dij '
— dx — p {pdx -+- qdij) H- {rdx-{-sdij) (Z — z) = 0, d'où
rdx -i- sdy ' et
— du — q {pdx -+- qdij) H- {sdx + tdij) (Z — 2) ^ 0,
d'où
^ {\-hq')dij+pqdx
Li M ; ] •
sdx -+- tdij et par conséquent
{\\ (1+p^) dx~{-pqdi) (1 -hq^) dy-hpqdx
^ ' rdx -f- sd]} Sf/x -h tdij
Telle est la relation à laquelle doivent satisfaire les accroisse-
ments infiniment petits dx et f/y, ponr que le point M' soit sur la ligne de courbure passant par le point M, Ayant 1 équation de la surface, on peut regarder les quantités p, q, r, s, t comme des fonctions données de x et de y, la relation (1) est donc l'équation dinércntiellc de la ligne de courbure passant au point M, ou plutôt l'équalion différenlitlle de sa projection sur le plan des xy. Et si l'on savait en déduire la relation qui lie y à X, cette relation, jointe à l'équalion de la surface, déterminerait complètement la ligne de courbure.
On voit (]ue la recherche d.s lignes de courbure dépend du calcul inverse du calcul différentiel, c'est-à-dire du calcul intéj^ral.
151. — Mais on peut, sans remonter à la relation primili\e ci:t!c X et y, qui caractérise une ligne de courbure, démontrer une proj)riété importante de ce genre de lignes. Divisons par dx les deux termes de chaque membre de l'équation (1). Posons, comme d'habitude,
Tx = 'J'
puis chassons les dénominateurs et ordonnons par rapport aux puissances décroissantes de y', il viendra
^'' I —[{\-]-p'-)s~-pqr]=0.
Celle équation étant du second degré en y', elle montre déjà qu'il y a en général deux directions à prendre sur la surface, en partant du point M, pour y tracer une ligne de courbure.
Mais, comme il s'agit ici d'une propriété géométrique indépendante de la position des axes, nous pouvons les choisir de manière à simplifier le calcul. Nous prendrons, comme au n* 146, le point M pour origine, le plan tangent en M pour plan dos xy, et nous dirigerons l'axe des j;, et par suite l'axe
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQI'ES. 175
des ji, de manière à faire disparaîUe le terme en xy dans l'équation de l'indicatrice. Ce choix d'axes suppose les valeurs
p = 0, q = 0, el s = 0.
L'c(|uation (2) se réduit donc à
Si le point M que l'on considère n'est pas un ombilic, et que r soit différent de f, cette équation donne y' = 0\ et comme elle a perdu son premier terme, elle donne aussi
7y' = oo .
Les deux directions indiquées par ces valeurs sont donc perpendiculaires entre elles.
Or, on a vu au n" 146, que les plans des zx et des zy que nous avons choisis sont précisément les plans des sections principales faites au point M. C'est donc dans la direction des sections principales au point M qu'il faut marcher sur la surface en partant de ce point, pour tracer sur la surface une ligne de courbure.
11 résulte de ce qui précède : 1° qu'en chaque point M d'une surface, sauf les points singuliers dont il n'est point question ici, passent deux lignes de courbure; et que ces deux lignes de courbure sont perpendiculaires entre elles; 2'' que ces lignes de courbure ont chacune un élément commun avec une des sections principales, ou , plus exactement, qu'elles ont pour tangente en M la tangente en ce point à la section principale correspondante.
Il en résulte encore qu'on peut tracer sur une surface deux systèmes de lignes de courbure qui la divisent en quadrilatères curvilignes a\ant leurs angles droits.
On voit que les lignes de courbure tirent leur nom de ce qu'en chaque point elles ont la direction qui répond au maximum et au minimum de courbure en ce point.
153. — Dans les surfaces cylindriques, le plan taniient en un point est tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point; les normales à la surface menées par les divers points de cette génératrice sont donc comprises dans un même plan perpendiculaire au plan tangent ; or le plan est compris parmi les surfaces dévcloppables. Les génératrices d'un cylindre forment donc un premier système de lignes de courbure. Le second système est formé par les sections droites, qui sont des courbes per|iendiculaires aux génératrices.
Dans les surfaces coniques, le plan tangent en un point est également tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point; et l'on en conclura comme ci-dessus que les génératrices du cône forment un premier système de lignes de courbure; le second système est formé parles courbes qui coupent toutes les génératrices à angle droit. On appelle ces courbes les trajectoires orthogonales des génératrices. Dans le cône de révolution, ces trajectoires ne sont autre chose que les parallèles de la surface.
Plus généralement, dans les surfaces développabies , le plan tangent en un point contient, comme dans toutes les surfaces réglées, la génératrice qui passe par ce point, mais il peut aussi être considéré comme contenant la génératrice infiniment voisine; car ces deux génératrices étant tangentes aux extrémités d'un même élément de l'arête de rebroussement, leur plus courte distance est un infiniment petit du troisième ordre (155, IV). Il en résulte que le plan tangent en un point est tangent tout le long de la génératrice qui passe parcepoint. Donc encore les génératrices forment un premier système de lignes de courbure, et le second système est formé de leurs trajectoires orthogonales.
Dans les surfaces gauches, deux génératrices infiniment voisines ne peuvent plus être considérées comme situées dans un même plan , et le plan tangent en un point de la surface , bien que contenant la génératrice qui passe par ce point, nest tangent qu'en ce peint à la surface. Les normales à la surface
AITLICATIUNS GÉOMÉTRIQUES. 175
menées par les dilTôrents points d'une même génératrice sont sur une surface gauche à plan directeur, perpendiculaire à la génératrice, et ne sont par conséquent plus sur une surface développable. Il en résulte que, dans les surfaces gauches, les génératrices ne sont plus des lignes de courbure. Si l'on coupe la surface par un plan parallèle au plan tangent et infiniment voisin de ce plan, il ne peut rencontrer la génératrice contenue dans le plan tangent; il coupe donc la surface suivant une courbe à branches infinies ; et , d'après ce que nous avons vu au n" 147, cette courbe est une hyperbole ; la direclion des lii:nes de courbure qui passent au point considéré est déterminée par les axes de cette hyperbole. Dans les surfaces gauches du second de,f;ré, par exemple, qui ont deux systèmes de génératrices rectilignes, le plan tangent en un point de la surface contient les deux génératrices de différents systèmes qui passent en ce point ; l'indicatrice est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles à ces deux génératrice.-; pour obtenir la direction des lignes de courbure qui passent au point considéré, il faut donc marcher sur la surface dans la direclion des bissectrices des angles formés jiar ces génératrices.
D;ins les surfaces de révolution, les normales auxdilfcrents points d'un même méridien sont contenues dans le plan de ce méridien, c'est-à-dire tju'elles a['pai tiennent à une surface développable. Les méridiens forment donc un premier système de lignes de courbure. Les normales aux différents points d'un même parallèle viennent concourir en un même point de l'axe de révolution ; elles sont donc situées sur un cône, c'està-dire sur une surface développable ; ainsi les parallèles delà surface forment le second système de lignes de courbure.
Si l'on applique à l'ellipsoïde à trois axes inégaux l'équation (2) du n° 151 , on obtient, pour léquation différentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy, une équation de la forme
Axy.ij'^-i- [x- — mif — u) y' — X1J = 0,
et, en remontant à l'équation primitive entre x eiy {voy. les traités de Caisul intégral), on reconnaît que les projections des lignes de courbure sur le plan des aîy,qui contient le grand axe et l'axe moyen, sont, pour l'un des systèmes, des ellipses, et pour l'autre système des hyperboles. Ces ellipses et ces hyperboles tournent leur concavité vers les points où se projettent les ombilics.
g 10. — CARACTÈRES ANALYTIQUES DES PRINCIPALES FAMILLES DE SURFACES.
153. — Surfaces cylindriques. Une surface cylindrique peut être considérée comme engendrée par une droite qui reste parallèle à elle-même, en rencontrant toujours une courbe fixe qu'on appelle sa directrice; et l'on ne restreint pas la généralité de cette définition en supposant que la courbe fixe soit plane; car on peut toujours prendre pour directrice linterseclion du cylindre par un plan, pourvu que ce plan ne soit pas parallèle aux génératrices.
Supposons donc la directrice plane ; prenons scn plan pour plan dis xy, et soit
(1) ?(^,!/) = 0, son équation dans ce plan. Soient
(2) x = az-]-oL et y = bz-}~^,
les équations d'une génératrice quelconque. Les coordonnées de ses traces sur le plan des xy, savoir
X=a et î/=3, devront satisfaire à l'équation (1) ; on aura donc
ou, en moltaiit pour a et 3 leurs valeurs tirées des équations (;2),
(4) o{x-az,n-bz)^0.
C'est l'cquilioti générale des surfaces cylindriques.
On peut en déduire une relation indépendante de la fonction aibitraire s. Pour cela , différentions successivement l'équation (5) par rapport à a; et par rapport à ij ; nous obtiendrons, en posant comme d'ordinaire
(Iz ^ dz
È.(l-^i>)-|¥-0 et |«^4-|(1-M = 0.
Si l'on éîialc les valeurs du rapport ; , '{ tirées decesrela-
lions, on trouve
(5) -j — = ou op-hbn=\;
^ ' 1 — ap aij '
c'est le caractère analytique des surfaces cylindriques, ou l'équation aux différences partielles de toutes les surfaces de ce genre. On voit qu'elle est du premier ordre.
yota. On appelle équation différentielle toute relation entre les différentielles de plusieurs variables ; une relation entre les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables s'appelle une équation aux différences partielles^ le mot diférences étant pris ici dans le sens de différentielles.
