Surfaces de révolution. Soient
(1) X = f/Z + a et Y=bZ-{-^
les équations de Taxe de révolulion. La surface peut être considérée comme engendrée par un cercle variable perpendiculaire à cet axe et ayant son centre sur cet axe. On peut regardei' ce cercle comme l'intersection d'une sphère de rayon variable, ayant son centre en un point déterminé de l'axe de révolution, par exemple, sa trace sur le plan des xy, dont les coordonnées sont X = a, Y:^:^, Z=0, et d'un plan variable perpendiculaire à l'axe. Ce cercle peut donc être représenlé par l'ensemble des deux équations :
(2) ! (j;- a)'- 4- (y -,:)'- 4- 2.^ = ?', \ ax -+- by -T- c=^ k ,
les variables p'- et k étant liées par une relation arbitraire
qui déterminera la loi suivant laquelle varie le cercle générateur. Ainsi la surface de révolution peut être représentée [)ar l'équation
(4) {x-y.Y- + {y-^y- +z' = . {ax + by +c).
En différentiant l'équation (5) d'abord par rapport à ^ et ensuite par rapport à y, on pourrait éliminer, comme on la fait aux deux numéros précédents, la fonction arbitraire 9, et obtenir l'équation différentielle générale des surfaces de révolution. Mais on l'obtient plus simplement en remarquant que, dans ce genre de surfaces, la normale rencontre l'axe. Si donc X, Y, Z sont les coordonnées du point de rencontre, ces coor-
180 APPLICATIO>S GËOMÊTRIQL'ES.
données doivent satisfaire d'une part aux équations (1), et de l'aulrc aux équations de la normale (140), savoir
(5) {\ — x)-^p{Z-z) = 0 et {\ — y)^rj{Z—z)=0-
Si Ton élimine X, Y, Z cuire les équations (1) et (5), on obtient
(G) [a + ])) {(jz -+- y - ;i) — (/> -f- r/) {pz + x — a) = 0,
c'est l'équation aux différences partielles des surlaces de révolution.
Cette équation peut s'écrire :
(y — bz—{t)p — {x — az— 7.)(i-\-a{ij — 3) —h{x — a)^0.
156. — Surfaces développables. Une surface développablo )eut être considérée comme l'enveloppe d'un plan mobile, c'est-à-dire d'une famille de plans dont les équations ne diffèrent que par im paramètre variable. L'équation d'une pareille famille de plnns pcnl être présentée sous la forme
(1) z=h-^xç{h)-^y'l{h),
et l'équation de l'enveloppe résulterait de l'élimination de h entre cette relation et sa dérivée par rapport à /i , c'est-àdire
Mais on peut, sans particulariser les fonctions © et 6, et par conséquent sans opérer Télimination de h, obtenir l'équation différentielle des surfaces développables.
En effet, la différentielle totale de 2 donnée par l'équaiior. de la surface doit être de la forme
(5) dz = p dx -\- qdij,
et q désignant les dérivées partielles de ^par rapport à a: cl
PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL LNFLMTÉSIMAL. tSl
à y. Or, si Ton diflerentie l'équation (1) en faisant tout varier, on obtient
dz = dh + X 9' {h) dh -+- y 6' (/() dh + ? (/i) dx H- à {h} dij .
Mais les (ermes multipliés par dh disparaissent en vertu de
I équation (2) ; il reste donc
dz = o {h)dx-hà{h)dij, ce qui exige
p = ^{li) et q=à{h).
Concevons qu'on ait tiré de ces deux dernières les valeurs
/i = 0(p), et h = W{q).
II m résulte d'abord
(5) c^(;,)=n•(ry),
et l'équation (1) de la surface peut s'écrire
(4) z=*l>{p)-{-px-^(iy, ou z=^W{(i) -\-px-\-qij;
c'est une première forme de l'éfjuation différentielle de la surface. Mais elle contient une fonction arbitraire; pour la faire disparaître on opérera comme il suit. Reprenons l'équation (3). On en tire, en différentiant,
<l>'{p)dp = n>'[q)dq,
et, allcndu que l'on a
dp = sdx H- td:j e t dq = rdx -\- sdij,
en désignant par r, 5, t les dérivées partielles du second ordre (57, Rem. I), il vient
O' (2)) {sdx + tdij) = W {q) [rdx + sdij).
182 APPLICATIOS GÉOMÉTRIQUES.
Comme ;c et y sont deux variables indépendantes, cette relation doit avoir lifu indcpeiidammenl des valeurs particulières attribuées a dxel à dij ; il faut donc que l'on ait séparément
$'(/)).s=W(9).r et ^'{p).t = W{q).s, et, en divisant ces relations membre à membre, on obtient
(5) ^=-, d'où s' — rt=0,
c'est ré(juaticn aux différences partielles des surfaces développabks. On vjit qu'elle est du second ordre et du second degré.
Remarque. On vérifie aisément que les surfaces cylindriques et les surfaces coniques satisfont à la relation (5).
Pour les surfaces cylindiiques, par exemple, on a trouvé le COI ac 1ère
ap -]-hq = \.
On en tire
a(lp-\-bdq=^0^ ou
0 {sdx -+- tdij] -+- b {rdx h- sdy) = 0.
Celte relation devant être satisfaite indépendamment du rapport entre les valeurs de dx et de dij, on doit avoir séparément
os-hbr^Q et at-\- bs=Oj et, en éliminant entre ces deux relations le rapport r , on retombe sur la condition (5j.
Pour les surfaces coniques, on a trouvé le caractère
On en tire
dz = pdx ■+- qdy -\- dp {x — x^) -\-dq{y — y^).
Mais on a
dz:^pdx -h qdy:
il reste donc
dp (x — X,) H- dq (y — ?/„) — 0,
ou
(s dx-\-tdy) [x — x^) -f- {rdx-\-sdy) (y — J/J,
équation qui se sépare en deux comme ci-dessus, et donne
s {x — x,)-^r{y — y,) = 0, avec
et en éliminant entre ces deux dernières le rapport .
on retombe sur la condition (5).
15*. — Surfaces (jaiiches. On dislingue ordinairement parmi ces surfaces celles qui ont une directrice rectiliime et celles qui ont un plan directeur.
T. — Supposons d'aljoid que la surface ait une directrice rectiligne. On la prend ordinairement pour axe des 2, et s.\z = h est l'ordonnée du point où une génératrice de la surface rencontre la directrice, les équations de cette génératrice peuvent être mises sous la forme
(1) 2 = /i-t-x^(/i), et z = h-\-y'!^{h).
On en lire
î?4 APPLICATIONS GÉOiMÉTRIQUES.
OU
ce(]ui montre que h est une fonction du rapport -. On peut i donc poser
d'où
et, pnr suite, l'équation de la surface peut s'écrho (2) z^c^/'y^-f-ajwf^Y
On éliminera la fonction <1> par une première différentiation par rnp[)o: t à x ou par rapport à y ; car on obtient ainsi
^ x) X \xjx
et, si Ton multiplie la première de ces relations par x^ la seconde par y, et qu'on ajoute, on trouve
(3) j,x-h(pj = xn^(^j^
On élimine la fonction W par une seconde différentiation, car
on ol' tient
PHEMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL LNFLMTÉSLMAL. 185
et
sx^tij^q = n- (|j
Multipliant la première de ces relations para;, et la ççconde par y, puis ajoutant membre à membre, on trouve
rx- -h 2sxij H- tif + px -\-fj)j=x ^r ( . ) ,
relation qui, en vertu de l'équation (5i, se réduit à
(4) rx^ -+-2sxu-h'nf = 0.
II. Supposons, en second lieu, que la surface ait un plan directeur. On le prend ordinairement pour jdan des xij, et si h est l'ordonnée d'un point de la surface, les équations de la génératrice qui passe par ce point peuvent être tcrites sous la forme
z=h, y=x-^ ('')+'-]^ CO- On en déduit immédiatement pour l'équation de la surface
On élimine la fonction arbitraire ^ par une première diiïérenlialion, qui donne
1 =xo' [z] q + <b' {z]q.
Multi|)liant la première par (7, la seconde par p, et retranchant, on obtient
(6) ^,^ç,(,)^ ou ^,^,^,^,.)^0.
Une seconde différentialion fait disparaître la fonction arbitraire 0, car on trouve, en dillércntiant, par rapporta x ou
par rapport à ij,
r -h so (z) -+- o' {z) pq = Q, s -h- t-..{z) + ç' (z) q* = 0.
Si l'on multiplie la première de ces relations par ç, la seconde par p. que l'on retranche membre à membre, et que l'on mette pour o{z) sa valeur tirée de l'équation (6), on obtient
q*r — 2pqs-\-p't^0.
III. — Les conoides sont des surfaces gauches qui ont à la fois une directrice rectiligne et un plan directeur; elles doivent donc satisfaire à la fois aux deux conditions (4) et (7).
Mais si le conoïde est droit, c"est-à-dirc si la directrice rectiligne est perpendiculaire au plan directeur, la surface peut être caractérisée par une équation différentielle plus simple. Prenons la directrice reclilignc pour axe des z, et le plan directeur pour plan des^y; les équations d'une génératrice pourront être mises sous la forme
z = h, y = x-^{h), ce qui donne pour l'équation de la surface,
équation que l'on peut aussi écrire
(9) %=(ply).
On élimine la fonction arbitraire o en différentiant l'équation (8) par rapport à x ei par rapport à y, ce qui donne
O = o{z)+x<f'{z)p, \=xo'{z)q.
Multipliant la première de ces relations par q, la seconde
PRKMIEHS ÉLÉMErsTS DU CALCUL LNFINITÊSIMAL. 187
par y), et retranchant membre à membre, on obtient,
p= — </9(2), ou p-\- qz.{z)=^0,
on, en mettant pour <p (z) sa valeur tirée de (8),
]j -f- — =:0, on enfin px + qy = 0,
équation aux différences partielles qui n'est que du premier ordre.
i»8. — Surfaces réglées. On peut demander le caractère analytique général des surfaces réglées. — Dans ce cas les équations d'une génératrice renferment trois fonctions arbitraires, (^ar si on les met sous la forme
on peut d'abord regarder^ comme une fonction de a; la relation ^j=:f{x) représentant la trace de la surface sur le plan des xij. V.n regardant ensuite les inclinaisons a et h comme dis fonctions de y. et de [3, ou, ce qui revient au même, de a seul, on peut écrire
les fonctions o, 6 et f étant trois fonctions arbitraires, expriment la loi suivant laquelle la génératrice se déplace.
On ne peut faire disparaître ces trois fonctions arbitraires qu'en diflerenliant trois fois de suite par rapport à aï et par rapport à y. La relation qui caractérise les surfaces réglées est donc une équation aux différences parlitlles du troisième ordre ; on trouve de plus qu'elle est du troisième degré. Nous renverrons aux traités plus étendus pour la recbeiclic de celte écjnation différentielle qui n'a point d'ulililé dans les applications.
