KOTÎO.NS l'HELlMlNAlRES
159. — Le calcul intégral est l'inverse du calcul différentiel. Dans ce dernier, les questions se ramènent toujours en iléfinilive à trouver la dérivée d'une fonction; dans le calcul intégral, au conlraire, les questions sont toujours ramenées à trouver une fonction connaissant sa dérivée. Les notions fondamentales du calcul intégral peuvent être présentées de diverses manières ; la |)lus simple est celle qui s'appuie sur les considéi'fltions géométriques suivantes.
tco. — So\iy^f(x) léijualion, en coordonnées rectangulaires, d'une courbe plane AB ; et proposons nous d'évaluer l'aire AA'B'B comprise entre cette courbe, l'axe des x et les deux oidonnées AA' et BB', répondant aux abscisses OA'=:fl et 0B'=/;.
Pour cela, divisons rintcrvallc A' B' ''-• '"•
en n |)arlies égales, et par tous les points de division menons des ordonnées; l'aire à évaluer se trouvera divisée en n petitg trapèzes curvilignes tels que MPI" M'. Par les points M et M menons les droites MI et M' 11 parallèles à l'axe des x ; nous formerons deux rectangles : l'un MPP' I plus petit que le trapèze correspondant MPP' M', l'autre HPP' M' plus grand que ce trapèze. Si nous opérons do même pour les autres, nous
aM I I , ,
y lî/c
190 PREMIERS ËLËMl.NTS DU CALCUL INTEGRAL.
formerons deux ^-érics de rectangles, les unsintérieiirs et dont \a somme sera moindre que l'aire à évaluer , les autres extérieurs et dont la somme sera plus grande que Faire à évaluer.
Si donc on désigne par U cette aire, par y^, j/^, î/^, ...,y„lcs ordonnées successiv s tracées sur la figure , depuis AA' jusqu'à BB', et h l'intervalle PP' compris entre deux ordonnées consécutives, on aura
et
U < î/i /^ + y^ /i . . . H- ijn-i h + ijn h.
Les seconds membres de ces inégalités diOérent de y„/i — y^ h ou de{Un — y^)h.
Or le facteur y,, — y^ est constant, et le facteur h poul devenir aussi petit que l'on vouilra en prenant n sulfisamment grand. L'aire U est donc comprise entre deux sommes dont la différence peut être rendue aussi petite que l'on voudra ; ce qui revient à dire que V est la limite commune vers laquelle tendent ces deux sommes; on peut donc écrire, par exemple ,
TJ=lim . S yh,
la caractéristique S représentant unj somme de quantités analogues au produit ijh écrit à sa droite.
Lorsqu'on passe à la limite, c'est-à-dire lorsque n devient infiniment grand, h devient infiniment petit; et on ])eut le représenter par dx, puisque ce n'est autre chose alors que l'accroissement infiniment petit de l'abscisse. En même temps, on remplace la caractéristique S, qui se rapporte à une somme de quantités variant d'une manière discontinue, parla caractéristique I , qui se rapporte à une somme de quantités variant d'une manière continue, ou par degrés infiniment netits.
NOTIOiNS PRÉLIMINAIRES. 19\
Et, comme la somme S n'iiuliiiuiit qu'une valeur approchée
(Je l'aire A A' B' B, tandis que la somme / indique l'aire exacte,
ou la somme intéiirale des élém.nts de cette aire, on donne le nom d'intégrale à celte secomlc somme. On écrit donc
(1) U:- fydx,
égalité qu'on énonce : U égale Vïntéijrale de ydx.
Chacun des produits analogues hydx est ce que l'on appelle un élément de l'intégrale.
Cette intégrale est dite indéfinie^ lorsque l'on n'indique pas entre quelles limites elle est prise , c'est-à-dire lorsijue l'on n'indique pas les abscisses extrêmes. Si l'on veut indicjiier les
limites, on écrit au bas du signe / l'abscisse répondant à la
Hmite inférieure, et au hautde ce signe l'abscisse répondant à la limite supérieure ; si, par exemple, on veut indiquer que l'intégrale est prise depuis l'abscisse «jusqu'à l'abscisse x, on écrit
ydx,
et l'intégrale est dite définie. Si l'intégrale est prise de AA' à BB', c'est-à-dire depuis l'abscisse a jusqu'à l'abscisse &, on écrit de même
(3) U= rydx,
ce qui s'énonce : U égale l'intégrale de a. à h de ydx, ou \] égalesomme rfda àh de ydx. L'intégrale définie prend dans ce cas une valeur particulière au lieu de conserver la forme générale représentée par (2).
Le calcul d'une intégrale définie est ce que l'on nomme une
quadrature, parce que cette intégrale exprime une aire, ou le carré équivalent à cette aire.
«Gfl. — Il s'agit maintenant de faire voir comment ce calc.;l peut être cireciné.
Considérons d'abord l'aire AA'PM limitée à l'ordonnée fixe AA', et à une ordonnée quelconque MP ou y. Cette aire est évidemment une l'onction de ic ; car elle varie avec l'abscisse OP et prend une valeur déterminée pour chaque valeur attribuée à cette abscisse. Nous pouvons donc poser
Le trapèze MPP' M' est l'accroissement aU de l'aire considérée. Mais ce trapèze est compris entre les rectangles MPP' I et HPP' M' ; si donc on désigne PP' par AX, on pourra écrire
y ax<aU< (î/4-Ay) Ax,
y i__^y représentant l'ordonnée M' P'. En divisant les trois membres par ax, on a
aU y<— <!/ + Ai/.
Si maintenant on fait tendre ax vers zéro, )l en .«-^era de
même de A?/, et le rapport — tendra vers F' {x) ; à la limite
on aura donc
V'{x) = y ou V'{x)=f{i%
c'est-à-direque la fonction l {s) qui représente l'ordonnée est la dérivée de la fonction F (x), qui représente faire de la courbe. En mettant donc pour y sa valeur dans la relation (1), il vient
x) dx.
NOTIO.NS PHÉLIMINAIRES. 193
On pourrait égaler le second membre à F [x), qui est la valeur (le U ; mais il y a ici une rcniarfiue imporlar.tc à faire. Ofi a vu que la dérivée d'une constante est nulle ; en sorte (\\\c si l'on ajoute une constante à une fonction quelconque , sa dérivée ne change pas. Lors donc que Ton remonte de la dérivée à la foi.clion primitive qui l'a produite, on doit, si l'on veut que le résultat ait toute la généralité désirable, ajouter à cette fonction une constante arbitraire. On devra donc écrire
C¥'{x)dx = Y{x) +C,
C désignant une constante arbitraire. Celte constante se détermine quand on considère l'intégrale définie. Car si Ton prend, par exemple, pour limites de l'intégrale a et xet (lue l'on pose
r l''{x)dx = V{x)-{-C,
l'intégrale devra s'annuler pour x = a^ puisque alors l'aire U est réduite à zéro. Ceci exige qu'on ait
On doit donc écrire
(6) rF{x}dx = Y{x) — Y{a).
Pour j; = b, on aurait
(7) r¥'{x)dx = ¥{b)-Y {a).
On voit que, pour obtenir l'aire cherchée, il faut ^/e'7^rmi?;t'r ta fonction F [xj dont f (x) est la dérivée^ y remplacer \ par la linille supérieure, puis par la limite inférieure, et retrancher le second résultat du premier.
Remarque. Dans le raisonnement que nous avons fait pour
trouver la limile de — , nous avons supposé l'ordonnée crois-
santé ; si elle était décroissante, ces raisonnements subsisteraient encore ; il n'y aurait de changé que le sens des inégalités.
16Î8. — Les équations (6) et (7) constituent un théorème de calcul qui est indépendant de toute considération géométrique. Car si l'on donne une fonction dérivée quelconque F' {x), en la supposant continue, on peut toujours la prendre pour l'ordonnée d'une courbe, et poser
dès lors le premier membre de l'équation (7) représentera l'aire de cette courbe, depuis l'abscisse a jusqu'à l'abscisse b ; et Téquation (7) montre elle-même comment cette aire pourra être calculée. On peut donc dire, sans avoir égard aux considérations géométriques : si F' (x) désigne la dérivée d\ine fonction conlinue , la limite vers laquelle tend la somme des produits F' (x).dx, quand on y fait varier x d\(ne manière continue depuis une valeur a jusqu'à la valeur b, s'obtient en cherchant la fonction dont F' (x) est la dérivée, remplaçant dans cette fonction la variable x par la limite supérieure h de \ , puis par sa limiteinférieure a, et retranchant le second résultat du premier. On verra que ce tbéorème trouve des applications fréquentes. C'est le théorème fondamental du calcul intégral ; et Ton aperçoit que ce calcul est l'inverse du calcul différentiel puisqu'il consiste à remonter à une fonction dont on a la dérivée.
Picmonter ainsi de la dérivée à une fonction est ce que l'on appelle intégrer celte dérivée ; cette locution e^t abrégée; elle signifie qu'il faut préalablement multiplier cette dérivée par dx , et chercher la limite vers laquelle tend la somme d^s
NOTIONS PRÉLIMINAIRES lO:.
produits analogues quand on fait varier x d'une manière continue entre des limites données.
RiMAi'.QUE. Tout ce qui précède suppose que la fonction /"(jc ou F' (a;) conserve une valeur finie depuis iC:= «jusqu'à x =&. On peut avoir à considérer des limites infinies, et, dans ce cas, il peut se faire que la fonction f[x) croisse indéfinimcnl à mesure que a; augmente en valeur absolue; l'intégrale se compose alors d'éléments qui croissent indéfiniment euxmêmes. Néanmoins, il peut arriver que celte intégrale conserve une valeur finie ; on en verra des exem[)les plus loin.
163. — Afin de donner sur-le-champ un exemple de ce genre de calcul, supposons qu'il s'agisse de trouver l'aire comprise entre la courbe tj:=:'5x', l'axe des x, et les ordonnées répondant aux abscisses 1 et 5. En appelant U cette aire, on aura
Il s'agit donc de trouver la fonction dont ox^ estla dérivée ; il est aisé de voir que c'est x^. Si , dans cette fonction x^ , on remplace x par 5, on obtient^? ; si l'on remplace x j)ar 1, on obtient 1 ; le résultat est donc 27 — 1 ou 26. Ainsi
3x*rfx' = 2(1.
164. — Avant d'aller plus loin, il y a quelques remarques utiles à faire.
I. Nous avons supposé jusqu'ici les axes rectangulaires; s'ils faisaient entre eux un angle G différent de 90°, les rectangles élémentaires, tels que yh, seraient remplacés par des parallélogrammes ayant pour mesure yh sin6. On aurait donc
U= lim . Z yh sin 9 = sin 0 . lim 2 î//i
ou
U = sin 6 / î/ dx.
c"cbt-à-dire qu'il suffirait de multiplier par sin 0 l'expression piécûlemment obtenue pour l'aire de la courbe.
IL Une intégrale peut avoir des éléments négatifs. Soit, par c\cm[)le, la courbe ABMCD, qui coupe deux fois l'axe des x ; y l'aire comprime entre cette courbe,
l'axe desic, et les ordonnées AO
-n et DD', présente une partie BMC,
située au-dessous de 1 axe des x.
»' X Dans cette partie de la courbe, Fig. 56. l'ordonnée étant négative, on
regarde l'aire de celte portion de courbe comme négative elle-même.
S'il arrivait que la partie négative fût égale en valeur absolue à la partie positive, l'aire totale serait regardée comme nulle.
