PRINCIPES DE DIFFÉRE.MIÂTIO.N

ia règle (lu n" 15, on change .r en x-\-\x, par suite y en Il -f- Ay, et qu'on dé.cloppe, on obtient

,„ 1 VI {m — 1 ) „ „ ,

?/ H- Mj=x"' -+- m . x"'~^ IX -!- ■ — j — -^ — -' x"'~- AX^

m (m — 1) ())i — -2) ^ — 7--^ — X "-^ Ax '-f- ... ;

les termes non écrits contenanl tous le i'actenr AX à des puissances supérieures à la troisième. En retranchant ces deux égalités membre à membre, et divisant ensuite par AX, on trouve

•^- = mx'"-'- H -: — ^^ X""'^ AX

AX

les termes non écrits contenant tous le facteur Ax à des puissances supérieures à la seconde.

AV

Faisons tendre AiC vers zéro ; le rapport ~ tendra vers la

dérivée de y, que Ion représente habituellement par y' ; tous les termes du second membre, à l'exception du premier, contenant le facteur aj:, tendront chacun vers zéro; et, comme ils sont en iiombrc fini, leur somme tendra elle-même vers zéro ; il viendra donc

y' =mx"'-\ et par conséquent

(/// = mx'""^ (Jx , ou (/ . x"'^mx"'~h}x ,

c'est-à-dire (juc, pour différenl'ter \^, il faut ^nultijiUer par f exposant m, dimimier ensuite cet exposant d'une unité, et multiplier par dx.

On tirerait r.insi, par exem[)!e,

de y=.x^, dy=b x''dx t

de y^a;% dy = d x^dx^

ei ainsi de suite.

lî. — Soil en second lieu

le logarithme étant pris dans un système quelconque. Si l'on change a: en j; + ^x^ et î/ en î/ H- Ay, il vient

î/ + Aî/ = log(a;-f-Ai;),

et, en retranchant membre à membre et divisant ensuite par Ax ,

Aï/ log(j; + Aaj) — logj;

IX AX'

Si Ton faisait tendre immédiatement \x vers zéro, le numérateur tendrait vers log 1, qui est aussi égal à zéro. Pour éviter la forme \, on peut faire décioitrc \x de telle manière qu'il soit toujours une partie aliquotc de la qu:inlité a;, qu'on no fait pas varier dans ce calcul; c'est-à-dire qu'on peut poser

Aa;= , m étant un nombre que l'on pourra fau'e croître inm

dé''niment. On aura ainsi

log(l + -) log(l+-