PRINCIPES ET FROCÉDÉS D'INTÉGRATION
1G3. — I. Lorsque la quantité placée sous le siijne 1 est
affectée d'un facteur constant, ce facteur peut être mis hors dusiqne. Soit, par exemple, l'expression
(1) J\f{x)dx.
Le facteur A affectant tous les éléments de l'intégrale est un fadeur commun à tons les termes d'une somme, et peut, par conséquent, être mis en évidence; on peut donc écrire
(2) kjfix)
dx.
Réciproquement : lorsqu'un facteur commun est placé devant le signe d'intégration, on peut le faire passer so'!S le signe. Dans l'expression (2), par exemple, le facteur A alfccîe une somme ; on peut donc effectuer la multiplication, ce (jui revient à affecter du facteur A chacun des termes delà somme, et jieiit s'écrire sous la forme (1).
I6G. — II. Uintégrale d'une somme de différentielles est égale à la somme des intégrales de ces différentielles.
198 PRL.MIERS ÉLÉMEINTS DU CALCUL miÉGRAL.
Soit, par exemple, l'expression
Elle revient à la somme des quantités suivantes (162) :
f (a) dx -\- ^ {a) dx -hf{a-\-- dx) dx + y (a + dx) dx H- /■(« 4- 2 dx) fix -f- y (fl + 2 dx) dx -h f{a H- 5 dx) dx -^- a [a + o dx) dx
-h f[a-i- {n — 1 ) dx] dx -+■ ^ [a -\- {n— \ ) dx] dx,
en supposant b= a-\-ndx. Or la somme des termes qui forment la première colonne est égale à I /"(j;) (/j;, et la somme des termes qui forment la seconde colonne est égale à I o {x) dx. On peut donc écrire
fb rb rb
[f (•^) -^<f{:x)]dx= \ f {x) dx+ \ ? ix) dx.
C'est ce qu'il fallait démontrer.
On étendrait sans peine la démonstration à la somme d'un nombre quelconque de différentielles.
iGî. — 111. L'uitégrale de la différence de deux différentielles est égale à la différence entre les intégrales de ces différentielles. C'est-à-dire que l'on a
rb rb rb
\ [f[x)~'f [x) ] dx = f{x)dx— 0 {x) dx.
La démonstration est la même qu'au numéro précédent; il sui'iitde remplacer lessignes -t- qui séparaient lesdeux termes de chaque élément de l'intégrale proposée par des signes — .
LNTÉGBATION DES DIFFÉREiNTlELLES. 1'j9
Il résulte de cette proposition et de la précédente que Vinlàjrale de la somme algébrique d'autant de différentielles qu'on vaudra est égale à la somme algébrique des intégrales de ces différentielles. Ces intégrales se trouvent ainsi affectées des mêmes signes que les différents termes d'un même élément de 1 intégrale proposée. On aurait, par exemple,
dx
r[f^^)^,{x)-^{x)]dx= i 'f{x)dx-^ f\(x)
la Ja Ja
- r à (.r) dx.
iC8. — On a vu, dans le calcul différentiel, qu'il existe une règle générale pour la différentiation des fonctions (13). Il n'existe malheureusement pas de règle générale analogue pour l'intégration des diiférenlielles. Si l'expression qui est
sous le signe | est une différentielle connue, l'intégration se
trouve immédiatement effccluée; si cela n'a pas lieu, on peut, en employant divers procédés, chercher à ramener l'expression donnée à une différentielle connue ; mais on ne peut pas toujours ctre certain à l'avance qu'un de ces procédés réussira. Ces procédés sont au nombre de trois. Le plus simple consiste à multiplier et diviser par un facteur constant convenablement choisi.
Soit, par exemple, l'intégrale / x'^ dx.
Telle qu'elle se présente, l'expression sous le signe / n'est
[>as une différentielle connue ; mais on voit aisément qu'on la ramènerait à une différentielle connue en multipliant sous le siune par ?)H- 1 ; car (m -h \) x"^ dx est la différentielle de x'"^^. Or on peut effectuer cette multiplication sous le signe, à la condition de diviser par ??H- i hors du signe (165), car
eu sont (Jciix opérations contraires effectuées sur rinlcfirale proposée. On peut donc écrire
ic'" dx = — —r (m + \)x'" dx = — — - + C,
en ajoutant une const.mle arljilrairc C si les limites de l'intégrale ne sont pas indiquées.
Soit encore lexprcssion 1 a'^ dx.
La quanlilé sous le signe 1 n'est pas une différentielle connue, mais elle deviendrait une didërentielle connue si elle
lo'^ rt était multipliée rar -r-^^ — . Or on peut effectuer celte multi- ' log e
plication sous le signe, à la condition de multiplier hors du
Iqt g
signe par la quantité inverse; ^ '^ — ; on aura donc
log a
Cri log ^ r \ou. a ^ , log e , ^ I a' dx = T— — — a' dx = 7— . a^ -f- C. J log a J log e log a
IGO. — Le second procédé d'intégration consiste à changer de vai'iable, c'est-à-dire à établir entre la variable qui (iguie
sous le signe I et une variable auxiliaire une relation telle
qu'en remplaçant la variable donnée par sa valeur tirée de cette relation, l'expression |)Iacée sous le signe d'intégration se change en une différentielle connue.
Soit, par exemple, l expression | -
J v'ft- — X*
La quantité placée sous le signe I n'est pas une différen-
\ielle connue; mais si l'on pose :r=rt o;/, d'où f/x=:rt f/'/, et
qu'on fasse la subslitiilion, on trouve
/" dx r a (lu __ r du
1 X ou, en rcmcUanl pour u sa valeur -, ' a
- =:arc.sni U4-C,
dx . X ^
=: = arc . sni — v-L.
dx
boit encore 1 expression i — ^=
La quantité placée sous le signe n'est pas une différentio'le nnuc; mais si l'on substitue, on trouve
connue; mais SI 1 on pose x= -, u ou ax= ^ cl qu un
du dx i »;
= arc. eus «H- C,
OU, en remettant pour u sa valeur -, ' x
dx \
arc.cos — h C.
lîo. — Le troisième procédé est connu sous le nom d^'uitégraliou par parties, locution inexacte mais consacrée. On sait (pie si M et V sont deux fonctions d'une même variable x, on a (21)
d . nv = u dv -+- V du.
On en tire
u dv = d . uv — V du.
Les deux membres de celle égalité étant deux différentielles égales, si on les intègre entre les mêmes limites, les résultats seront égaux, puisque les deux intégrales obtenues se composeront d'un même nombre d'éléments égaux chacun à chacun. On peut donc écrire
/ iidv = j d .uv — / vdu
ou, attendu que les signes / et rf se détruisent quand ils se superposent,
{i ) 1 iidv = iiv — / vdu.
C'est sur cette relation que se fonde le procédé d'intégration
par parties. Elle exprime que si Von a sous Je signe j u
produit de deux facteurs u et dv, dont Vun dv est une diffé rentielle connue, l'intégrale de ce produit est égale au pre mier facteur u, multiplié par l'intégrale \ du second, diminue
d'une seconde intégrcde dans laquelle il y a sous le signe
l'intégrale v (pion vient d''obtenir, multipliée par la différen tielle du du facteur cpii n^ivaitpas été touché. Soit, par exemple, l'expression
xe'^dx, on trouvera, en appliquant celte règle,
xe^dx = x.e^ — / e^.dx = xe^ — d*4-C.
Il aï rive dans ce cas que l'intégration proposée est ramenée t; l'intégration d'une différentielle connue.
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. 20c
Soit encore l'expression
arc tang x .dXf
on trouvera de même
dx
I arcian'j^x .dx = i\rciangx .X — x
ce qu'on peut écrire
Ixdx
1 Sivc tang X .dx=x ave lang X — ^ /
L'intégration proposée se trouve ainsi ramenée à une intégration plus facile. Car si l'on examine la quantité placée
sous le second signe / , on reconnaît que le numérattur 2xdx
est la différentielle du dénominateur 1 +ic*; cette quantité
est donc de la forme — .qui est la différentielle du logarithme u ' °
népérien de ii ; on a donc ici
/ arc tang x.dx = x . arc tang x — ^ log' (1 + x-) H- C,
en ajoutant toujours une constante arbitraire si les limites de Tinlégrale ne sont pas indiquées.
L'habilude du calcul peut seule suggérer le choix à faire dans cliaque cas entre les procédés que nous venons d'exposer; et il est utile de répéter qu'on ne peut pas toujours être assuré d'avance qu'on réussira à effectuer l'intégration proposée en employant un ou plusieurs de ces procédés.
lîi. — Différentielles algébriques eulières. — Considérons d'abord la différentielle monôme Ax'"dx. Pour l'intégrer, on
204 PREMIERS ELEME.NTS DU CALCUL LMÉGHAL.
emploiera le procédé du n° 168, c'est à -dire qu'on nmltiplicra par mH- 1 , sauf à diviser l'intégrale par ce facteur ; on aura ainsi (165,108)
Ax'^dx = ; I (m ■+- \ ) x'^dx = t + const .
On voit que la règle à suivre consiste à augmenler l'exposant de X d'une imiié, el à diviser par cet exposant ainsi augmenté. On trouvera ainsi
iOx'ulx = —g h const ^6ic' 4- const.
Remaiique. La règle est en défaut pour î7i = — 1, parce que le dénominateur ?n -h 1 devient nul. Mais, dans ce cas,
l'expression placée sous le signe 1 est une dinércntielle connue, celle du logarithme népérien de a;, c.ir on a
jAx~'dx=^X I — =: Alog' jc + const.
1Î2. — Supposons maintenant que la diriérenlielld soit pohnome. En combinant la règle ci-dessus avec le priiici] c du n" IGG, on trouve aisément
/ (Ax" + B^'"-'-f- . . . -^Tx +U) dx= li^ +^ -^ . . . J ^ m+l m
Tx-
H- — — h Ix -+- const.
Par exemple,
/x^ (x* — ôx--\- Gx — 7)(/x;=-p- — x^ -\- ox- — Ix -+- const.
INTEGRATION DES DIFFI:RENT1ELLES. 205
173. — Différtutic'lles uhjéhr'iques fractionnaires. On peut ne considérer que le cas où le nuinéraleur est d'un degré inlérieur à celui du dénominateur; car, s'il en était autrenient. on i)oiiirait efïectuer la division; le quotient se composerait d'une partie entière et d'une fraction avant pour numérateur le reste, c'est-à-dire un polynôme de degré moindre que le dénominateur proposé.
^U|!posons d'abord que le dénominateur soit du premier degré ; lI soit
Adx
mx -+■ n
l.i diiïérenticlle proposée. On multiplie le numérateur par m, et l'on divise l'intégrale par ce même facteur ; on a ainsi
A.(lx A /" mdx
