I AUX A

J mx -{- n m J

mx

Mais alors le numérateur de l'expression placée sous le signe d intégration est la différentielle du dénominateur; celte ex-

nre-^sion est donc delà forme — , qui est la différentielle du ' u

(ouaritlime iiépérien de u. On a donc

= — log' {mx ■+- n) -+■ const.

mx-\-n m Par exemple,

/'y^ = 7log'(4x-i) + const.

J Ax — \ 4 ° ^ '

lî-a. — Supposons, en second lieu, que le dénominateur soit du second degré, le numérateur sera au plus du premier, et la différentielle donnée sera de la forme

{mx -h n ) dx ax- -h bx -\- c '

206 PREMIERS ÉLÉMEiNTS DU CALCUL INTÉGRAL.

Il y a lien Je distinguer trois cas, suivant que les racines du trinôme placé en dénominateur sont réelles et inégales , réelles et égales, ou imaginaires.

I. — Considérons d'abord le cas Dii ces racines sont réelles et inégales; en les désignant par a et p, on pourra écrire le dJiiominateur sous la forme

La méthode consiste à poser , . - mx -h 11 A B

a) {x — fi) X — a X — 3 '

et à déterminer A et B de manière que cette relation ait lieu quel que soit a:. En chassant les dénominateurs, elle devient

mx -\-n = \ix — (i) + B (a; — a).

Cette relation devant avoir lieu identiquement, on peut y faire

successivement

x = x et ic = p, ce qui donne

m-x-hn

my.-\-n=zA{x — [î), d'où A =

et

nîi3 + n = B(3— a), d'où B = ~'-^'''

en supposant a>»(i.

Les coefficients A et B étant ainsi déterminés, on aura, en vertu de la relation (1),

i" imx-hn)dx A r dx B r dx

J a {X — y.) {x — f,) aJ x — y. ~^ aj x — ^

= '- log' (^ — *■) + ^ log' (^ — (^) H- const.

INTÉGRATION DES DIFFÉREISTIELLES. 207

Par exemple, on trouvera en suivant celte marcIie

r__{jx^i)dx 15 r dx 9 r dx

c/5a;^— i5aj + 18 oj x — o 5./ x — '2

= -^ log' (^ — 5) — ^ Ioii'(a:— 2n-const. o o

On traitera de même rcxemple suivant, qui se rencontre dans les applications :

dx 1 r dx 1 /' dx

I ax 1 r dx 1 /'

1 r—dx

j f dx ^ Ç -

2aJa-\-x 2a J a

= 2^ Jog' (a + a;)— ^ log' (a — a;) -h const.

= 77- log' h const.

'irt '^ a —X