II. — Si les racines du trinôme placé en dénominateur sont

réelles et égales, la différentielle proposée peut s'écrire

(}jix ! Il) dx

'■ —■, en appelant a la racine double. La méthode

consiste alors à changer de variaMe en posant

X — 0.= u, d'où dx = du.

On a ainsi

r (mx -\- n) dx r {mu ■+- mx + n) du

r (mx-hn) ax r

J aix—a)^ J

{x—af J au-

m /• du . my. H- n C du u^

m r du my. H- n Ç

aJu a J

m, , my.-j-n 1

=: — log . M — ■ . - -h const.

a ^ au

m, ,, , ???a-j-n 1 ^rr — log' o; — a) . !-con:

208 PUEJIIERS LLÉMEATS DU CALCUL LMÉGIiAL.

On trouvoia, par exemple, ainsi

/ ^- '-T7T = - log' (x — 2) 4- ô . ^ -I- const.

m. Nous supposerons enfin que les racines du trinôme en dénominateur soient imaginaires. On sait que dans ce cas le trinôme peut se mellrc sous la forme

• alix-y-Y-h':.'].

La mé'.hode consisle à poser x — x^^u, d'où dx^=^[idu\ en substituant, on obtient

r (mx H- n] dx __ Çim^u -f wix -+- n) ^jdu m Ç vin

mx-h n r du "^ a^ J ÏF+T*

La diffcrenlielle placée sous le second signe 1 est une diflé-

rcnlielle connue; on ramène celle qui est sous le|iremiir

signe 1 à une différentielle connue en multipliant par 2 sous

le signe et en divisant par 2 hors du signe ; car on a alors

sous le signe d intégration l expression -r j- dont le niimc-

râleur est la différentielle du dénominateur, d qui a par conhéqueiil pour intégrale le logarithme népérien de ce dénominateur ; on trouve ainsi

arc arc

{mx~hn) dx

mx -+- n

tang tans

-aY+{i'] 2a °

m , u -f- const = ^r- log 2a

X — a . — h const.

mx + n

INTÉGRATION Di:s DlFtÉUENTI ELLES. 20'J

Par exemple, on obtient ainsi

(Ix

+ ^ . arc taiig — ^r— ->r const.

«93. — On pcul concevoir que l'on suive une m.ircbc analogue quand le dénominat(ur de la fraction est d'un degré quc'lcon'|uo. L'algèbre fournit des méthodes pour décomposer les fractions rationnelles en fractions simples; on peut donc, ihéoriijuement du moins, ramener ainsi l'intégration d'um; dilTérenliellc fractionnaire rationnelle, dont le dénominateur e^t un polynôme en x de degré quelconque, à Tintégralion de plusieurs différentielles fractionnaires plus simples. Mais cela suppose qu'on puisse trouver les racines d'une é(|uation de dcgi é quelconque, ce qu'on ne sait pas faire. Nous nccroyons donc pas utile pour les applications de déveloiipcr ici cette mélhode générale ; nous nous contenterons de traiter les exemples suivants, où le dénominateur est du troisième degré.

I. Supposons d'abord que la différentielle proposée soit [x^- — \)X-^ù) dx

{x-i-[){x — ]){x-2y Nous poserons

o;-^ — 5x- + 5 ABC

(x + l)(x — 1) (x— 'J) x-hl x — i x—2' ou

-hC{x + \){x-]).

En faisant successivement j; = — 1, x = +i, a: = -f-2,

2i0 PROllliRS ELEMENTS DU CALCUL INTÉGRAL

on trouvera