II. La mélliodc que nous venons d'employer est en défaut

lorsque deux racines du dénominateur sont égales.

Supposons, en effet, qu'on ait à considérer la fraction

mx^ -\-nx-hv . »

;^ f-r et qu on pose

(x — (t)ix--h)' ^ '^

mx--i-nx-hp A B C

{x—a){x — b)- X — a x — b x — ft' en chassant les dénominateurs on obtient

mx- + nx +p = \{x — bf -i- (B + C) [x — a) [x — b),

relation qui ne sauiait élre une identité, puisque le second membre s'annule pourx = &, tandis que le premier ne contient pas le fadeur x — 6, si la fraction proposée a été réduite à s;i plus simple expression, ce qu'on peut toujours supposer. Dans ce cas, au lieu de décomposer la fraction proposée en trois fractions dont les dénominateurs soient du premier degré, on la décompose en deux fractions seulement, l'une ayant un dénominateur du premier degré {x — a), l'autre un dénominateur du second degré {x — b)^.

Soit par exemple à intégrer ^- — — — '-—-^ on posera

x'- — hx-^^ A Ca; 4- C

[x 4- \){x — 2)-^ x+{^ (x — 2)^' ou, en chassant les dénominateurs,

ic- — 5j;4-5 = A(x— 2)»+(Bx-f C) (x + 1);

et l'on déterminera les coefficients A, B, C en donnant à x trois voleurs distinctes, par exemple x^ — 1, a: = 2 etj; = 0: on trouve ainsi :

pour a: = — 1 , 9 = 9 A , d'où A = i ;

pourj; = 2, — 5 = Ô(2B + C); pour a; = 0, 4-5=iAH-C;

les deux dernières donnent C = — l,ctB:=0. On aura donc

{x- — DX-+- 5) (Ix r dx C dx