I.MÉGRA1I0N DES DlFFÉUE.NTltLI ES

!a seconde - , la troisième, qtii rcvicnl à — ok ^dn, a pour u ^

iotégrale + 7, îi~^ ou ^.-z. On a do:ic

r(x--— 5x'H-5)rf.r , , , J (x-.)- -log-(x-2)

con?t.

lîc. Di II érenlielles irrationnelles du second degré. I.Ousnit que l'expression ' est la différenlielle de l'arc dont le sinus est a:; on a donc iiiiincdialement dx

vi— ^'

= arc sin x H- const.

If. Soit maintenant l'expression dx \\ — x* ; pour l'intégrer, on co:T:mencc par multiplier et diviser par y 1 — 1*, ce

i\ 1^2) (Ix

qui donne -^ — , et pai' conséquent

i*dx

La preniicre intégrale du second membre est connue. La

seconde peut être mise sous la lormc -h I x . —=;;== ; on a

J vl— ^*

ainsi sous le signe | deux facteurs dont l'un, le second, est

une diiït'rcntielle connue, car c'est celle de y 1 — x* (30). Si donc on applique .à cette intégrais le procédé de l'intégration par parties (170), on aura

ri) -]- I X. ~^^^z=:^ = X V 1 — X'' — I \ 1 — ^■- dxo,

214 PREMIERS ÉLÉMRiMS DU CALClJL INTÉGRAL.

Substituant cette valeur dans la relation (i), on obtient

1 dx V 1 — X* ^ arc sin j; + x y [ — x^ — | dx \ 1 — x^.

On voit qu'on a ainsi reproduit en signe contraire dans le second membre l'intégrale qu'il s'agissait d'obtenir ; si on la fait passer dans le premier membre, celui-ci se trouvera donc doublé, et, en divisant par 2, on obtiendra finalement

dx yj\ — x- = ^[ arc s'm x -hX\/\ — x*] + const.

dx <îî. — III. Pour intégrer -^=^= on change de variable,

\\ -hx*

et l'on pose

illevant au carré et réduisant, on obtient i=iC- — 1ux,

et, en différentiant et divisant par 2,

, , ,, . (/x du

0 = udii — udx — xdii, d ou = — ,

ou, ce qui revient au même en vertu de la relation (1),

dx da

\J\ + X- u On peut donc écrire

/^ ^ I — =^ lojT^ « -f- const

= log' {x ■+- \T+I*) -h const.

INTEGRATION DES DIFFEIŒNTII-.LLES. 215

(Ix On intéfrrerait de la même manière . et l'on aurait

(Jx

const.

/ -^== = log' {x-\-\x'-h k) + J \ X- H- A;