IV. Soit maintenant à intégrer dx \\-\-x^; on commencera

u- I- .j- • 1 ; ■ 1 (\-^.i'-)(lx

par multiplier etdiviserpar y 1 -4-a;% ce qui donne-^ — =r— .

On a donc

La première intégrale du second membre e^t conne ; la seconde peut s'écrire

xdx

la quantité sous le signe / est alors un produit de deux facteurs, dont le second est la différentielle de \ 1 -+- x- ; on a donc, en appliquante procédé de l'intégration par parties,

r xdx r. -, r -, ', 1

I X . — =: X \ 1 H- x- — 1 V 1 H- ^' . dx ;

et, en substituant dans la relation (2),

dx \j\-\rX- = log' {x 4- y 1+x*)

H-X\l4-X* — I s 1-hx* . f/aJ.

Le dernier terme du second membre est alors le premier membre cbangé de signe. Si on le fait passer dans le premier membre, et qu'on divise par 2, il viendra donc

/ (Ix \ 1 H- x-^: Q [log' {x 4- v/1 H- ^0 + 30 y'i + a,-] + consl.

On intégrerait de même dx \ x'^ k, et l'on trouvciait / ilx\^x--hk=^ [k\oii.'{x-\-\x^'i-k)-\-x\,'X--\-k]->rCùr,st.

Mais si l'on avait à intégrer dx\lx- — fc, on aurait

1 dx \x- —/.•:= [— k log' [x -\- \'x- — A') -^x\x' — k\ .

Ce résultat ne diffère du précédent , comme on pouvait s'y attendre, qu'en ce que k est change en — k.

iî8. — V. Si, dans les exemples qui précèdent, le radical portait sur un trinôme du second degré, ce cas pourrait être ramené aux précédents ; mais les résultats seraient de nature différente, selon que le terme en x- serait affecté d'un coefficient positif ou négatif.

Supposons-le d'abord négatif, et soitc + to — «x* le trinome placé sous le radical. Ce trinôme pourra s'écrire

[c h fl - -^ - .r

ou, en ajoutant et rcti aiiclianl ^ans la narcnt!:cse -j- ,

quantité qui est de la forme

c b^ car on doit admettre que — !- 7-^ est positif, autrement le

^ a Aa- ^

radical serait imaginaire pour toutes les valeurs de x. On

INTÉGRATION DES DlFFLRENTiELLES. 217

pourra donc poser

a;^a+^u, d'où dx = -^du;

et, en fai>anl la substitution, on donnera au trinôme la

forme «|î- (1 — lû-)^ et le radical portera sur 1 — u-. On sera

donc ramoné aux cas traités au n° 17G.

dx Soit, par exemple, à intégrer ; en ajoutant

V 7 + Co; — X- €t retranchant sous le radical le carré de la moitié du cocffi-

, , « ,• fv . • dx

cicnt de x, c est-a-dire y, on pourra écrire

^10— (j; — 5)> On posera