const

iî9. — YI. Supposons en second lieu que le coefficient dej;* .-oit positif, et soit ax- -\-hx -\- c le trinôme. On] pourra l'écrire

b* ou, en ajoutant et retranchant dans la parenthèse le terme y—^,

Y IlV £iil

quantité de la forme

On posera

x=7. — ,3h, d'où dx = dz ^dii ; 2l, en substituant, le trinôme deviendra

aCt^'u^dzC^'), ou ay{ir-±\)-

et le radical portera sur u^zhl. On sera donc ramené '"ux cas traités au n° 177.

INTÉGRATION DES DIFFÉREiNTlELLES. '210

Soit, par exemple, à intégrer

(ôx — 2)(Jx v/4a:- — lUx-f-20'

Le trinôme sous le radical pourra s'écrire 1

A{x- — 4x-h5), ou A[{x — 2)--hi\.

On j)Osera donc

x = 2-hu, d'où (lx=du;

et, en substituant dans la différentielle donnée, elle deviendra

(ou -+- 4) du 2vV-hl

On aura donc

/" (5a: — ^dx 5 f udn r du

J \/4a,-^ — lO.r + i>0 ~ 2 j ^ir-+-\ '^ " J ^/F+T

= ô\ '''-f- 1 H- 2 log' (w -h V M- -f- Ij -1-const.

^ ^ v/(a:-2r-+-l + 2 log' [{x — 2) -h vV- 2)^ + 1]

= 2 log' [[X — 2) +v{a.»— 4xH-5] + ^\/x-—4x-h5 -+- consl.

t80. — Diffcrcnlielles binômes. On donne ce nom aux différentielles de la forme

(1) x'^{a-\-bx''Y.dx.

On peut remarquer d'abord que si p était un nombre entier, on pourrait développer le binôme, et, en multipliant ses termes par x^dx, on aurait une suite de différentielles de la

nù PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL LMEGRAL.

forme Ax'^ilx que l'on pourrait intégrer séparément. Nous n'avons donc à considérer que le cas où p n'est pas un nombre entier.

On ne diminue pas la généralité de l'expre.^sion (1), en supposant n positif, car si l'on avait

on pourrait écrire, en multipliant par a;" dans la parenthèse et en divisant par x"^ hors de la parenthèse, ce qui ne changerait pas le produit,

expression qui est de même forme que la proposée, mais où l'exposant n est positif.

On ne diminue pas non plus la généralité de l'cxprisi-ion (I) eu supposant m et n entiers. Supposons-les, en

effet, dj la forme — et - , de telle sorte que la difierenlicUe r s

proposée soit On posera

z*\a-\- bx' J dx.

x = u^\ d'où dx^rsu'^~Wu\ et, en substituant, il viendra

expression qui, au facteur constant près rs, est de même forme que la proposée, avec celte seule différence (pie les exposants ms et nr sont entiers.

En définitive, on voit que dans la différentielle hinouic (1) il est permis de regarder m et n comme entiers, et n comme positif.