I.NTÉGRATIO.N DKS DlFFÉllIirsTiaLLS
tcgrahle clans le cas de p entier. Elle l'est encore dans deux autres cas. 1° Posons, en effet,
Voù
fl + &X'''= u,
et dx — ^ /"-«)"""
du
En Mibsliluant ces valeurs dans l'expression proposée , en obtient
1ïl — L- I
et l'un voit que celle différentielle serait inté^rable si — ' —
était un nombre entier tt posit f.
2°Ladiffc!enticlle binôme peut s'écrirex'""*'"P. {b-\-ax~'^yi!x. Si on opère sur celte qiinnlilé comme nous venons de le faire, ou oijlient la condition d'intégrabilité en remplaçant 7n par m-\-vp du par — n. On trouve aussi que l'expression est intégrable si la (]uanlité
7,7 -^ jin -\-\ hn 4- 1 '- , ou — -4-
est un nombre entier et positif.
Dans tous les autres cas, la différentielle binôme ne j)eu être intégrée à l'aide des fonctions algébriijucs et logarithmiques. On se propose ordinairement alors de ramener sop. intégration à celle d'une différenlicUe de même forme dans laquelle les exposants met/} soient les plus petits possible en valeur absolue.
188. — Si l'on écrit la différentielle binôme sous la forme [a + bxy .x'^dx, on voit qu'elle est le produit de deux facteurs, dont l'un x'" dx
222 PREMIERS ÉLÉ-ME-NTS DU CALCUL LNTÉGRAL.
c>t une différentielle connue; on peut donc appliquer le procédé de l'intégration par parties, et l'on aura
bxy.x''clx={a + bx"Y. ^
m -f- 1 [a-^bx'yx'"^'
pbn {a-^bx''Y-\x''-Ulx.
" r'" '"^ » bu r
La différentielle binôme placée sous le signe | danslese-
cond membre est de même forme que la proposée ; elle en diffère en ce que p est remplacée par p — 1 et mpar m-hn. Mais on peut déduire de la formule (2) une autre formule qui ramène l'intégration de la différentielle proposée à celle d'une dillLTcntielle de même forme, dans laipielle m con-etve sa valeur, et ]} est remplacé par p — 1. Pour cela, on observe qu'on a
Si l'on substitue celle valeur dans (2), on obtient
I [a -h bx")^ . x'^ilx = ^ '—,
FJL. / (a-\-bx"Yx'"dx
^ïnia Çj;^(^a + bjfy-'dx,
et, si l'on passe le terme affecté du signe — dans le premier membre, on en lire après réduction
{a-hbx''yx (5
// / n^r, •. 7 [a-hbXyX"'^'
l la-hbx''Yx dx = ^ T-^
J ^ ' mH-1 -^pn
^-l^ fx''{a + bx''Y-'dx.
On peut renverser celte formule, c'est-à-dire en tirer la valeur de l'intégrale qui (igure dans le second membre. Si Ton l'ait ce calcul, et que l'on change ensuite p en p-t-l, on obtient
H- bx")'' . x''\lx = — -^^ —
li) / ^ {l) + \)na
{p-i-\)na J ^ '
Les formules (5) ou (4) serviiont, quelque soit le signe dep, à ramener l'inti'grnle proposée à une autre de même forme, où, m reslanl le même, la valeur absolue de p aura été diminuée d'une unité. Et, en répétant un nombre de fois suffisant cette opération, on ramènera l'exposant dej^àavoir jiour valeur absolue une fraction.
183. — La différentielle proposée peut être décomposée d'une antre manière en deux facteurs dont l'un soit une différentielle connue. MuUi[)lions et divisons, en effet, par la dérivée de &x", c'est-à-dire par nbx"~^ ; nous pourrons écrire
— . j:'"-"^' . ia -+- bx"")" . bnx"-'(lx. hn
Sous celte forme on reconnaît que le facteur {a-hbx"Y.bnx''-\lx
est la diflércntielle de {a + bx''y~^^^ divisée par^j-t-l. En appliquant donc le procédé de l'intégration par parties, on pourra écrire
X'" (a -h bxy .c1x = i- x""-"^' . ^ ;
/ ^ ' bn p-{-\
,'-r^ fx'"-"(a-hbx"f+'.(lx.
L'intégrale proposée se trouve donc ainsi ramenée à une
autre de même forme, tlans laquelle l'exposant m est remplace par m — 71, et l'exposant p parpH-1. Mais on peut déduire delà forme (5) une autre formule qui ramène l'intégrale proposée à une intégrale de môme forme, dans laquelle p conserve sa valeur, et m est changé en m — 1. Pour cela, on observe qu'on a
x^-n [a + bx"Y+'=x''-' {a -+- bx'Y . {a + bx")
= ax'"-" {a -h bx"y + b-"' [a -h bx'y.
On a donc
/ X'"-" {a -t- bx'Y^'' .(lx = a | x'"-" {a -f- bx^dx
-\-b x'^ia + bxyâx
Si l'on substitue celle valeur dans la relation (5), qu'on fasse passer le dernier terme dans le premier menibic et qu'on réduise, on en tirera
I x''{a + bx''Ydx =
-^ i ^ x''-"{a + bx''Vdx.
On peut ensuite renverser cette formule, c'est-à-dire en tirer la valeur de l'intégrale qui figure dans le second membre; et si l'on change alors m en m-\-n, on obtient
x''^'(a-hbx"Y^' bx'Vdx=:
^7j;c/ a(m-hi)
Les formules (6) ou (7) serviront, quel ([ue soit le signe 6m, à ramener l'intégrale proposée à une autre de môme
INTEGRATION DES DIFFERENTIELLES. 22ô
forme, danslaquellc,p restant le même, la valeur absolue de??i sera diminuée de n.
En employant successivement les formules (5) ou (4), puis les fornuiles (6) ou (7), on parviendra à retrancher de p toutes les unités contenues, et de m tous les multiples de n qu'il renferme. Quelquefois l'opération peut être abrégée par l'emploi des formules (2) ou (5).
Remarque. Les formules (5) et (6) sont en défaut quand m + 1 -1-7!/) est nul; ou, ce qui revient au même, quand
\- n est égal à zéro. Mais alors la différentielle Ijinome
est intégrable directement (181, 2"). Le nombre /; étant fractionnaire, on n'a jamais ];-f-l =0 ; ainsi la formule (4) n'est jamais en défaut. Mais la formule (7) est en défaut pour m = — 1. Or, dans ce casencore, la dilïérenliellc binon^.e peut être intéfîrée directement (181, \°).
