Prenons pour exemple la différentielle x^dx

(i-xY

On a dans ce cas

ou x*(l — X-) -.dx.

Pour diminuer d'abord la valeur absolue de l'exposant p et celle de l'exposant m, employons la fornuile (5) ; elle donnera

(8) fx'{\—x')'Ulx = -i-x^\ -x')''

— 5 / x''{\ — x')~\dx. .

Pour diminuer encore l'exposant do x dans le facteir hor^

226 PROIIERS ÉLÉMEMS D[] CALCUL INTÉGRAL,

parcnllicse, faisons usage de la formule (G), en y faisant m = 2, n^ 2, ]; = — - ; elle donnera

I x*(l —X-) ' (lx=^—^x (1 — x-)- -^^ \ OU' {\ — x-] ' ih

= — 3 j:\ 1 — ■^i^' + ô arc sm x +const. Subslituant cette valeur dans (8), on obtient

/V (1 —x^y- cix=x' (i — x'y -^^x{\— x')^

— ^ arc sm x -+- const.

185, — Différentielles logarithmiques et exponentielles. L'inlégrale de \o^x.dx s'obtient par le procédé de l'intégration par parties. On a, en effet,

/f Jocr e log x.clx = log x.x — / —^— dx . ry

= X \o"X — X loîT e -+- const.

Plus généralement on trouve par le môme procédé

a;'" ioa . a; . dx = I02; . x . r — /

— loiïe.-; —r-f- const.

On a vu (108) comment on peut intégrer a'^dx en multipliant et divisant par une constante convenable. On a , en

clfet.

r , , b'' e rh^a , loge , a'dx = -i-^^ r^^ a'dx -- ,-^- a* J logaJ loge iof-o

-f- const.

LNTEGRATION DES DIFFEIiENTHXLES. 227

On trouve de la inème niaiiicrc

r r; lo?^ r i'^?« r , ^02: e ^

/ a h]x=^ — '. — -^^ (r^dx^= — ~ — rt~^H-consl.

J logaj logd lo^^^a

Si a=ze^ il vient / f^rte = e*-4- const. et . \ e~^dx^ — d~-^ + const.

Il peut arriver que, dans ces expressions, x soit mulliplié par un facteur constant; comme, dans la différcntialion, ce l'acteur affecte la dérivée , il faut, dans rintéi,Tation, Unir compte de cette circonstance en multipliant et divisant par ce même facteur. On trouvera, par exemple,

j {e""^ -+- e-'^')dx = - C [me'"' + me-'"^) dx = - fi?™^ — d-'"^) + const.

et

|^(j^ „- Q-r^^) dx = f{me'-' — me-'^)

dx

= - (e'"'' 4- e-'"^) -+- const.

Ces deux formules trouvent leur emploi dans les applications.

L'exponentielle peut être multipliée par une puissance dex\ l'intégration par parties permet alors de diminuer d'une unité l'exposant de cette puissance. On a, par exemple,

( 1 ) j x"^ e^dx =rr x"" e^ — m j 'a;'"-' e'dx.

Si m est entier et pos'lif, en répétant un nombre suffisant de

fois celte opération, on obliendra exactement l'intégrale demandée. On trouvera, par exemple,

Çx^ ehlx = d" (x^ — 2a; + 2) + const.

Si m est négatif, on peut renverser la relation (1), c'està-dire en tirer la valeur de l'intégrale placée dans le second membre ; en changeant ensuite m en m H- i, on obtient

^ J m + 1 m 4- IJ '

et si m est entier, en appliquant un nombre suffisant de fois cette formule, on ramènera l'intégration demandée à dépendre

de / x~^e^dx. On ne pourra pas aller au delà, parce que la

fornuile (2) est en défaut pour w=: — 1 . On verra plus loin que celte dernière intégrale s'obtient par développement en série.

Si l'exposant m est fractionnaire, l'emploi des formules (1) ou (2) , selon qu'il sera positif ou négatif, permettra de ramener l'intégrale demandée à une intégrale de même forme dans laquelle l'exposant de x sera une Traction.

186. — Différentielles renfermant i'es fondions circulaires. H résulte immédiatement de ce qu'on a vu dans le calcul différentiel (44) que l'on a

I sinxdx = — cosx-l-const.

et

ces xdx=-\- sin x -\- const.

Soit à intégrer

tang X dx ou

sinxdx

cùsa;

LMÉGIUTION DES DIFFEllEiNTlCLLES. 229

on remar(juera que le numérateur est, au si^me près, la différentielle du dénominateur ; si donc on écrit

— s>\nxdx

COSiC

on aura une expression de la forme — , qui est la différentielle du logarillime népérien de u ; on aura donc

/r — sinxdx , ,

t-mn,xdx = — | ■= — log'.cos ic + const J cosj;

On trouvera de même

/, r cosxdx , , .

coixdx= I — -. ■ = 1oî; . sino; +const. J iU)X

rour intégrer — — , on pose siiio;

x=^u, d'oij dx = 2du,

ce qi:i donne d'abord

2(/î( du -T-^^ ou -. .

MnlU SUIMCOSM

On divise ensuite les deux termes par cos-w, ce qui donne

du cos-Jf

laii" u

Mais — — est précisément la différentielle de tanffM ; ainsi cos-u '

l'expression à intégrer est la différentielle du logarithme né-

périen de tangw. On a donc

rdx \

— — = log' . Um u -+■ const. = los' . tang -^ x-{- const. sin X ^ ° '^ 2

L'intéffrale / se ramène à la précédente en posant

d'où

dx= — dy ;

et, par suite,

r fte r dy , , » i

I = — / -^^^ = — 10" tan^r k '/ -f- const.

J cos X J sin y ° ° 2 ^^

= — log' lang (^ -- 1 j +const.

187. — Il résulte de ce qu'on a vu dans le calcul diffé renlicl (44), que Ton a immédiatement

r dx

/ ■ ., :::= COt . iC-hCOnst,

J SUVX

et

r dx

i — r- =tanga; + const.

Quant aux intégrales

/ &'m'^xdx^ et / cos-xdx,

on les obtient aisément par addition et soustraction. On a, en effet,

/ cos-xdx-+- j s'm^xdx := I {cos^x-{-sln-x) dx= / <'/a;=a; + const.

et

/ cos^a.v'a; — / s'm-xdx

= / {cos'^x — s'm'^x) (Ix^ / cos'ixdx,

ou, en miillipliant et divisant par 2, afin d'avoir sous la signe (l la môme vnriable que sons le signe cosinus,

/ cos-a;(/j; — / ^i\i^x(lx = ^ / cos2x(l.2x

= lsi„2x + co„st.

Par suite,

/ co?,'X(Ix ^-x-{- j sin '2x H- const.

2x-i-sin2j; =rr h consl.

/ s\n-X(!x= xX — -rsin^cï H- const.

"2x — sin2j;

=r= h consl.

Si l'on avait à intégrer si;i-j;cos' j; Jj:, on pourrait écrire, en muUi[tliant et divisant par 4,