sin-ic cos-^ dx, 'iu -, sni-'Jx" dx

ou encore

232 l'REMIl'RS ÉLÉMEMS DU CALCUL LMÉGllAL

En vertu de la formule qui précède, il viendrait donc

r • o 7 \ r 4^ — sin 4jî

/ èu\^-x^iOi>'xdx=. ^ \ û\\^^xd.'ix=: ^-r hconsl

Si l'on avait à intégrer / — — dx, on pourrait écrire

^y C 0 is Ob

rs'uf- X , r dx r I ^

/ — --dx= 1 — ï / cte = tangj; — a; + const.

J cos^;r J cos^x J °

On aurait de même

rcos-xdx r dx r 1

I — ^^ — = -^-, dx= — cota; — a; + const.

J surx J sin-j; J

Plus généralement, si l'on a à intégrer s'in^xco^^xdx, et que l'un des exposants m ou p soit impair (on les suppose tous deux entier^), l'intégration pourraélre ramenée à celle d'une fonction algébrique entière. Car soit, par exemple,

On pourra écrire

sin'" x cos^* X . cos x dx ; et, en posant

sina;r=u, d'où cosj;=:(i — ?/-)', et

cos xdx=: du y

on aura à intégrer

u''{[—u-)''.dit,

diflérei:tielle algébrique, rationnelle et entière.

INTÉGRATION DES DIFFÉllENTlELLES.

Par exemple, on trouvera ainsi

I s'in^ X cos^ X (lx= I lâ (1 — u^y

= = M' — ?^ M H- TT W — T^ M^' + Tï ?r' + COIlSt.

7 9 11 iô 15

/ 9 11 lo

1 • ,5 + -i-c sin^x -h const.

Plus généralement encore, et quels que soient les exposants m dp, on peut transformer sin'"x cos^a^Jj; en une différentielle binôme, en posant sin x = u. Car on peut écrire

siu"* j; cos^"^ X' . cos x dx, ce qui revient à

«""(l — U-) ^ .du.

188. — Les différentielles qui renferment des fonctions circulaires inverses, telles que arc sin xdx, ou arc langxdx s'intègrent par le procédé d'intégration par parties. On trouve, en efiéf,

xdx

r . . . r ^(Ix

arcsinx'aa.'=arcsina:;.x —

= x arc sin x -+- y i — x- -\- const.

arc tan^î x . dx =arc tang x .x — l x . -. ;

1 rlxdx ^ arc tanna;, a; — -p^ | -, ;.

Dans le sicond membre, la quantité sous le signe / est une fraction dont le numérateur est la différentielle du dénomi-

(Ih natcur, c'est-à-dire une fraction de la forme — , qui est la dif-

férentielle du logarithme népérien du dénominateur w; il vient donc

/ arc tanjT^r . dx^x arc tangrc — ^ 'og'il -\-xr) H-const. On trouverait de même

/ arc cosic . dx=x arc cosa; — ^/l — x^-{- const., et

arc cot xdx^=x arc cot a; + ^ log' (1 -h x^) + const.

189. — C'est encore à l'ai'le du procédé d'intégration par parties que Ton intègre les différentielles simples qui contiennent des exponentielles et des sinus ou cosinus. On trouvera, par exemple,

mais

Par conséquent

P'cosx,/x = ^(si„.-.cos.)-J'^cos.„.,

et, en passant le dernier terme dans le premier membre et divisant par 2,

e'' cosxdx^ç^ 6'^(smi; + cos ;;) -+- const.

INTEGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. 23o

190. — Si, dans les expressions étudiées aux n°* 186, 187, 188, 189, la variable x était multipliée par un facteur constant, l'inté^çralc devrait être divisée par ce facteur. On aurait, par exemple,

/, \ r , i\\Mi]x cos mxdx^=— l cos mx .(lmx = h- const. m f m

r . , i r . , cosmx ,

I smmxdx = / —iiinwx.amx= H-const.

/, 1 r — sln mx d mx tanff mx .dx=: 1 m 1 cos mx

= lo";' cos???a; + const.

C , , 1 r cos mx dmx 1 , , .

lcoimxdx=~ 1 — ; r= — Iolt sm??î:c-h const.

/ m 1 sm mx m "

sin' mx dx=— i sin- mx . dmx m f

2 ma; — sin 2 ma;

— h const.

Jcos- mx Jx = — / cos^ mx . dmx mj

2mx-{->\n2mx

■■= 7 • -h const.

ft, ainsi des autres.