Considérons d'abord Fexpression / f{x)dx. Ceitc
expression est une fonction de a;, dont la dérivée est f {x) ; si
donc f[x) et ses dérivées successives conservent des valeurs finies de 0 à a;, on pourra développer l'expression proposée par la formule de Maclaurin (69) ; et, en remarquant que i"inlégrale s'annule pour ic=Û, on aura
La série qui forme le second membre pourra donc tenir lieu de la fonction dont fix) est la dérivée.
Considérons maintenant l'intégrale I f{x) dx. Si f{x) cl
ses dérivées conservent des valeurs finies de 0 à ic, on pourra remarquer que l'on a
f{x)dx= / f{x)dx— I f{x)dx.
Si donc on développe par la formule (1) les deux intégrales qui figurent dans le second membre, et qu'on opère la soustraction, on obtiendra
f[x)dx=a^)r-^+f' {0)-^ +r(0)
Si f{x) et ses dérivées conservent des valeurs finies de a à ic, mais qu'il ne soit pas permis d'y faire a; = 0, on pourra opérer comme il suit.
Posons
x=^a-\-ii^
et
na+u
j f{a-hu)dH=V{u).
Nous pourrons développer ia fonction F par la série de Maclnurin. Mais nous aurons
F(0) = 0, F{u)=f {a-hu), d'où P (0) =f (a), Y"{u)=f'{a-{-u), d'où F"(0) = /-' (a), V"'{u)=f"{a^u), d'où F'" (0 ) = /•'"(«),
et ainsi de suite. II viendra donc
(5) j^ f{a + u)du=0^f{a).'^+r^a)^^ + f"{a)
ou
192. — L'intériTation par développement en série peut encore être présentée d'une autre manière qu'il est utile de
connaître. Soit f (x) la fonction placée sous le signe / ; et
supposons qu'on puisse la développer par la série de Maclaurin, on aura
Multiplions les deux membres par f/j;,et intégrons entre les limites 0 cl a;, il viendra
f {X) dx = f (0) I + /" (0) ^^ + r (0) :j^5
238 Pni.MlERS ELEMF.MS DU CALCUL LMEGRAL.
Or, soient a et 3 la plus grande et la plus petite valeur que prend R^ quand x varie de () à a; ; on aura
et, par conséquent,
«^> 1 ^Jx>^x.
La quantité / W^dx est donc égale à un certain produit Ix, dans lequel fe désigne une quantité comprise entre y. et p. Mais R„ tendant vers zéro à mesiire que n augmente, il en est de même de a et de p, el par conséquent aussi de la quantité intermédiaire k. Donc kx tend vers zéro à mesure que n augmente, c'est-à-dire que l'intégrale qui figure dans le second membre de Téquation (4) est un reste qui tend vers zéro. On peut donc se dispenser de l'écrire, et l'on retombe ainsi sur l'équation (1).
Si l'on intégr;iit entre les limites a et x, on retomberait de même sur l'équation (2). On pourrait aussi établir de la mém.e manière l'équation (3) en développantf (a 4- «).
192 bis. — Comme premier exemple de ce qui précède, proposons-nous de développer un arc en fonction de son sinus. L'application de la formule du binôme (80) donne, pour x, compris entre + 1 et — 1,
Multiplions les deux membres par dx, et intégrons de 0 à x, il viendra
\ .x'" \.7).x'' \.7).hx' 2.0 2.4.-) 2.4.0./
Pour a; = l, on obtient
!: — 1 X. AiL 1.5.5
Comme second exemple, cherchons le développement de l'arc en fonction de sa tangente. La formule du binôme donne
1 +iC'
Multiplions par rficet intégrons de 0 à x^ nous aurons
^5 A^5 tWi
(6) arc tanga:=:a; — ^"'"k ^-(-....
Pour ir = l, on obtient
193. Remarque. — Les formules (5) et (7) ne convergent pas assez rapidement pour servir au calcul du nombre?:. Mais on peut en déduire des formules plus convergentes. On démontre aisément, et il est facile de vérifier, que l'on a
d'où
arc tans .1=4 arc tan g p — arc tang . ^.-^r^^ .
:: = 4 ( 4 arc tang ^ — arc tang . ^„
On calcule arc tang - et arc lang ^^ par la formule (6), et
en substituant on obtient la valeur de tc. Il suffit d'employer les on^e premiers termes du premier développement, et les trois premiers termes du second, pour obtenir le nombre ~
no PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
avec quinze décimales. (Voir les Traités d'Algèbre supérieure.)
19-1. — Au lieu de multiplier les deux membres de la formule de Maclaurin par dx, on peut les multiplier par x'"clx, m étant un exposant positif; et, en intégrant de a à ic, on obtient
^"WT:MïiïT5)+--
On démontrerait, comme au n° 191, que le reste de la série
tend vers zéro.
On peut appliquer une méthode analogue à l'intégration de
6^ dx la différentielle , que nous avons rencontrée au n" 185.
On a, en clfel,
dx , ,
Multiplions les deux membres par— et intégrons àe a a x, a
OC
étant supposé positif, il viendra e^dx
/ e^dx . , x X — a x- — a^ x^ — ff
L ~ôr~ ^^^ 'â^~[ ^ 1.2.2 "^1.2.5.5 x^ — a' C'^T, dx
Or, si a et ^ désignent, comme plus haut, la plus grande et la plus petite valeur que prenne R„ quand x varie de a à a;,
l'intégrale I R„ — sera comprise entre a I — et ^ I — ,
IiNTEGKATlO.N DES DIFFÉRENTIELLES.
2 il
c'est-à-dire entre a lo"' . - cl S lo«' . -. Elle aura donc iiour ^ a ^ a
valeur une qnaiililé telle (|iie k log' . - , fc étant compris entre
a et [S. Mais R„ tendant vers zéro à mesure que n augmente, il en est de même de a et de (3, et par consé(|uent aussi de
Jdx n„ — est un reste 0 ^
qui tend vers zéio, et que l'on peut se dispenser d'écrire.
