CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES PAR APPROXIMATION

195. — Lorsqu'une intégrale délînie ne peut être obtenue par aucun des procédés d'intégration connus, on peut toujours en calculer la valeur numérique avec une approximation plus que suffisante en général pour les besoins de l'application.

C'est encore au calcul approché qu'il faut recourir lorsque, comme cela arrive fréquemment dans les questions qui tou-

client à la prali(iue, la fonction qui figure sous le signe i

n'est point connue sous forme mathématique, mais qu'elle est seulement donnée par des valeurs isolées ou par le tracé d'une courbe.

Il existe, pour le calcul approché de la valeur numérique des intégrales définies, plusieurs méthodes, dont la pins répandue est fondée sur les considérations géométriques suivantes.

Supposons d'abord qu'il s'agisse d'évaluer le trapèze curviligne AOQC, limité par une courbe AlîG qui n'est point donnée, mais déterminée seulement par les trois ordonnées équidislantes AO, BP, CQ, que nous appelle- rons ?/o, î/p "Di- Désignons [lar h l'intervalle OP = PQ des ordonnées.

242 l'HEMliRS ÉLÉMKMF. DU CALCUL IMÉGHAL.

Si la courbe ABC est conlinuc, et si, entre les points A et C, elle ne présente ni inflexion ni aucun autre point singulier, on pourra, sons erreur nolable, la remplacer par une autre courbe quelconque remplissant les mêmes conditions, par exemple par une parabole ay-mt pour axe une parallèle aux ordonnées; c'est-à-dire que l'aire du trapèze curviligne limité pa:' celle parabole, l'axe des x et les ordonnées extrêmes, différera fort peu du trapèze curviligne pioposé. Et l'erreur sera d'autant moindre que la dislance h sera plus petite.

Si l'on met l'origine au pied 0 de la première ordonnée, l'équation delà parabole dont il s'agit sera de la forme

(1) y=ij,-{-ax + bx\

Et comme elle doit passer par les points B et C qui ont pour coordonnées

x=h,y = y^, et x = 2h,y = y^, on devra avoir

(2) y, = y,-h(ih-hbh\ y^ = y^ + 2ah^4bhs

équations qui déterminent a et b. Posons Aj = j/^ — y^, la première des équations (2) pourra s'écrire

(5) ^^ = ah-^bh\

Posons de môme

en rctianchant membre à membre les équations (2) on obtiendra

('f) A\ = ah-hobh-.

Posons enfin,

\ = ^', — \, en trouvera, en retraïubaul nwnibrc à membre les éqiia-

LMÉGRATION DES DIFFLIŒMIELLLS. £ 13

lions (5) et (4),

(5) ^, = 2bhK

De cette dernière on tiic

2 h' ' et, en substituant dans (5), on ohticnt

h L'éqnalion de la parabole est donc

(C) y = yo + (^^-2 '^^j /t + ô ^- 1,1-

Cette équalion, dans laquelle les quanlilcs Aj cl. A, sont ce que l'on appelle la différence première et la différence seconde, est celle qui, dans la pratique, sert à résomirc le p: oblèmc de

l'iKTEnrOLAIlON *.

l'our obtenir l'aire de la parabole, il sullit (10''2) de multiplier les deux membres de l'é<iUi:tion (6) par dx, et dinlcgrer entre les liuiiles a; = 0 et x = 2]i, ce qui donne, en ^ppelanl U l'aire cliercliée,

U=2/,y„ + 2/î(^A-iA,)-f-L,/i OU, en remettant pour a, et A, leurs valeurs Aj := ij^ — y^^ et

(7) lJ^t>/,(^y^+((^:jA JLoj^(y^ + ,'y^ + yj.

* Y MF ce mol (Jars noire ['Utionnaire des Malhcnialiqitcs ap-liqiircs.

PREMIERS ELEME.NTS DU CALCUL INTÉGRAL.

i«G, — Supposons maintenant qu'il s'agisse d'évaluer l'aire du trapèze AOCB limité par une courbe quelconque AB, Taxe des x, et deux ordonnées extrêmes y^, Y. Divisons Tinter-

ik

Fig. 3S.

vallc oc de ces ordonnées en un nombre pair n de parties égales, et soit /i l'une de ces parties. Par tous les points de division menons des ordonnées, que nous désignerons successivement par î/^, y.,, y.. . .î/;j i. Soit «^ l'aire du trapèze curviligne limité par les ordonnées 7/„ et y^, \i^ celle du trapèze limité par les ordonnées î/^ ^^ î/ii et ainsi de suite; enfin, î/„ celle du trapèze limilé par les ordonnées î/„2 et Y. Nous aurons, en verUi de la formule (7) établie au numéro précédent

«i = 5''(yo

^yi + yj.

Ajoutons membre à membre toutes ces inégalités, et soit U

Paire totale à évaluer. Le facteur- /i sera commun. Les or-

données extrêmes y^ et Y n'entreront ch'icune qu'une ?cu1c

fois dans la somme. Les ordonnées d'indice pair ?;,, y^,

INlÉGliATIO.N DES DIFFÉHKNIIEI.LES. 245

î/^,... ijn-i y entrent chacune deux fois. Les ordonnées d'indice im|)air ?/j, y., y^, ■ • • ?/n-n Y entreront chacune quatre fois. On aura donc

Vn-l)

Telle est la formule de Thomas Simpson. Elle s'énonce en disant que : Paire de la courbe a pour valeur le tiers de lintervalle de deux ordonnées consécutives., multiplié par la somme des ordonnées extrêmes., plus quatre fois la somme des ordonnées d'indice impair, plus deux fois la somme des ordonnées d'indice pair.

Le résultat du calcul s'approchera d'autant plus de la vénlé que le nombre n sera plus considérable.

lOï. — Pour donner une idée de l'approximation, proposons-nous d'évaluer par cette méthode l'aire de l'hyperbole éqiiilalèrc xij=\, depuis l'abscisse 1 jusqu'il l'abscisse 11. Divisons linlervalle 1 i — 1 en dix parties égales; les ordonnées répondant aux abscisses 1, 2, 3..., 10, 11 auront pour valeur :

x = \ ij„=\MO

La somme des ordonnées extrêmes ^o + ^ ^^'^ égale à 1,091

La somme des ordonnées d'indice impair î/i -^ Vz -^ !/5 + ^7 + 1/9 ' a pour valeur 1 , 1 42 ; en mullipliant par 4, on obtient 4,508

A PiEror.TEii, . . 5,059

246 PIŒMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL LMÉGRAL.

PiEroiiT 5,659

I,a somme des ordonnées d'indice pair •/^ + yi + î/6 + 2/8 ^ P^""^ valeur 0,787; cnmultipliant par 2,on trouve i,574

La somme de ces nombres esl 7,253

En mullipliant par le tiers de l'intervalle de

deux ordonnées consécutives, c'est-à-dire par ^,

puisque ici /t=:l, on obtient 2,411

Or l'aire dont il s'agit est donnée exacte-

r'dx ment nnr la formule / — =log'.i 1^2,5979...

ou environ. ... 2,598

Il y a donc une erreur en plus, qui esl de. . . 0,015

Et l'erreur relative correspondante e^l q, ou un peu

moms (le 7-—.

198. — PiEMAnQUES. I. Si la courbe proposée avait des points d'indexion, il faudrait mener les ordonnées de ces points, f t év.iluer séparément les parties de Taire totale comprises entre ces ordonnées.

II. Si la courbe coupait l'axe des x, auquid cas une partie de la courbe serait siluée au-dessous de cet axe, il faudrait évaluer séparément les aires positives placées audessus, et les aires négatives (164, II) placées au-dessous.

III. La formule de Thomas Simpson s'applique à toutes les intégrales définies, car la fonction placée sous le signe /

peut toujours, si elle est conlinue, représenter l'ordonnée d'une courbe, et par conséquent l'intégrale proposée représente Taire de cette courbe.

API'L GATIONS UU CALCIjL DKS INTÉGRALES DKI'IVII.S. 217

La formule n'e4 en définit que lorsque l'une des limilcs est infinie, ou qu'elles le sont toutes les deux.