III. — ArPLlCATIONS DU CALCUL DES INTÉGRALES DÉFliMES

§ I. — RTCTinCATION DES COURBES

flo». — Rectification des courbes planes. On cnlend par longueur d'un arc de courbe, la limite vers laquelle fend la longueur d'une ligne brisée inscrite ou circonscrite, terminée aux mêmes extrémités. On a vu (114) que si a', y «ont les coordonnées rectangulaires d'un point d'une courbe plane, et X-\- A2', y -+- Ay celles d'un jioinl voisin sur cette courbe, la corde (jui les joint a pour expression \Ax--\- Ay'- Si le second point se rapproche indéfiniment du premier, la corde tend vers l'arc iniiniment petit, que l'on désigne par ds, en sorte qu'on a

(;s = lim . y/Ax'-h \y- = dx\/\ -h y'-'

Cet arc infiniment petit est ce qu'on appelle un élément de la courbe, et ce qu'on appelle la lomjueur de la couibe, entre deux points donnés de cette courbe, est la somme de ses éléments compris entre ces deu\' points. Rectifier une courbe, c'estcalculer sa longueur, depuis le point qui a pour abscisse a, jusqu'au point qui a pour abscisse b. On a donc, en appelants cette longueur,

(1) s= ds=: f dx^X-hy'K

Pour faire le calcul, il faudra donc tirer de l'équation de la courbe la valeur de y' en fonction de x, et évaluer l'intégrale définie qui forme le second membre delà relation (i ). Nous en donnerons quelques exemples.

2«o. — Rectification de la paraboL'. Prenons l'axe de la courbe pour axe des y, son équation pourra être mise sous la forme

M=^, d ou î/=-.

Par conséquent, en comptant les arcs à partir du sommet, par exemple, on aura

Pour faire l'intégration, il est commode de poser x^pu, d'où dx=pdu.

L intéf^rale indéfinie

pdu\,^i-+-u* a pour valeur

p .^ [log' (m + ^/ï+û-) 4- u v/î+ï?] -I- const.

ou, en remettant pour u sa valeur -,

p. x[ ioo' . i '— -f — î — - — '— -j- const.

Celte valeur devant s'annuler pour a:==0, auquel cas la quantité entre parenthèses s'annule, il faut que la constante soit nulle. On a donc enlin