APPLICATIONS DU CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES

«Of . — Rectification de la chaînetle. La courbe qui porte le nom de chaînette est celle qu'affecterait une chaîne infiniment mince, pesante, et parfaitement flexible, librement suspendue par ses extrémités. On démontre en Mécanique que l'équation de cette courbe est

af î -?\

on en lire

Par conséquent

I/'=ôl '^' — e

n , U ~ o --\ e'^ + e « i^if- = \^-i^e^ —o^e ^j = \ ^

On a donc, en comptant les arcs à partir du point le plus bas qui répond à ^ = 0,

(5) s= j dx(^^^^^J=~{e'^ — e «)>

sans constante, attendu que 1 expression doit s'annuler pour x^O.

I802. — Rectification de la cycloide. On sait que celte courbe est représentée par les équations

x=Y{ {x — sina), et î/ = R(1 — ccsa).

On en tire successivement

f/x = R (1 — cos a) dy., dy = R sin a dx,

" dx 1 — cos a '

\ — 2cosa H-COS^a-f-sin^a 2

1 — COS y.,^ 1 - • ces a

250 rr.EMltP.S ÉLÉMENTS DU CALCUL LMÉGRAL.

On a donc, si l'on calcule la longueur de la cycloïde entière, depuis le point qui a pour abscisse 0, juscju au point qui a pour abscisse 2-R,

S= j R(i— cosa)(/y.. 1^

«^0 Y' 1 — cos a

= Rv'2 f \/y./l— cosa = 2R f's\nly.(h,

ou, en multipliant et divisant par 2, nfin d'avoir sous le signe d la même variable que sous le signe sinus,

''fr

L'intégrale iiuléfinic est — cos -a; cl, entre les Imiles 0

et 2z, elle devient 1 + 1 ou 2. On a donc enfin pour la longueur de la cycloïde entière

ou 8 fois le rayon du cercle générateur.

203. — Rectification des courbes à double courbure. Soient a:, y, 2, et x-j-AX, y-hMJ, z-h Az, les coordonnées de doux points voisins sur la courbe ; la corde qui les joint a pour expression ^/ax-+ Ay-+Az^ Si l'on conçoit que le second point se lapproche inLiéliniment du premier, cette corde tendra vers l'arc qu'elle sous-lend, que l'on appelle un élément de la courbe, et que l'on désigne par ds. On a donc

ds = lim . ^J^x^ + aî/ -^ \z^ = dz\^ \^\ ■^- \-fi) + 1 •

La longueur de la courbe entre deux points, répondant aux ordonnées z = a ci z^b, est la sonmie de ses éléments corn-

AlT'LICATIOiN'S DU CALCUL I)ES l.NTÉGRALES DÉFÎMES. 251 pris cuire ces deux points. En la liésii^^nant [lar-s onadonc