Soit enfin î/ = sin x. On en lire
y -]- Mj = a'm [x -\- Ax) , et
Ay sin {x -h Ax) — sin x
AX AX
Si I on faisait tendre immédiatement AX vers zéro, le second menilirc prendrait la forme ^. Pour l'cviler, on transforme, au numérateur, la différence des deux sinus en un jiroduit conformément <à la formule
sin ]) — sin r/ = 2siii -, {p — q). cos | {p -+- q)y
on obtient ainsi
Ay 2 sin | ax . cos {x -h | Ax) ^
AX AX '
10 rP.EMIERS ÉLÉilEMS DU CALCUL LNFLMTÉSIJIAL.
ce qu'on peut écrire
Ml pin ^ \x , . ,
-^ = — p- — ■ . cos {x-\-\ \x) .
AX I AX \ 2
Si maintenant on fait tendre ax vers zéro, le- rapport
ï- i n - IX
enire le sinus et l'arc tend vers l'unité; cl le second
facteui' tend vers cos x. 11 vient donc
Uni ,— = ?/' = cos a:, d'où (hj^= cos xdx.
ou
d . sin .x' = cosxdx.
19. — rsous allons maintenant ex|^.oser les principes qui permettent de ramener la différentiation d'une fonction explicite quelconque de a: à celle des trois fonctions fondamentales que nous venons d'étudier.
I. La différentielle d'une constante est nulle. Car si Ton a y = C, la lettre C désignant une constante, on aura encore, en changeant x en x -h ix, et y en y -h Ay,
y-^Sy = C,
d'où il résulte aj/ = 0, et, pan.unsLquent,àla limite, dy = i); ce qu'il fallait établir.
PiEMAnoLE. On en déduit aussi -p r=0, ouf (i") = 0; c'està-dire que la dérivée dune constante est nulle.
20. — II. Lu différentielle de la somme ou de la différence de deux fonctions est égale ù la somme ou à la différence des différentielles de ces fonctions. Car si l'on a
u et V désignant deux lonc'.ions dcx, quand on changerai: en X -h AX, u deviendra u -h au, v deviendra v -+- Ay, et y se changera en y -f- Ay. On aura donc
y 4- Ay = {u-h au) dz {v ■+- Av).
PRINCIPES DE Dll'FÈUEMIATION. 11
aiiclian oli'icnl
Eiî ictraiiciiant ces deux égalités membie à membre, en
Ay = su dz AV ( I, à la limite,
(hj r:^ du ± dv.
Si, par exemple, on avait
y = x"'-{- sin Xy 01) en déduirait
dij = mx"'~'^ dx -+- cos x dx.
Ce piincipe s'étendrait sans difficulté à la somme algébrique diui nombre quelcoiirpie de fonctions.
2t. — m. La différeutieUe logarithmique d'un produit de jdiisieurs fonctions est égale à la somme des différentielles loijaritluniques de ces fonctions. Soit par exemple
il) y = uvw,
u, V, lu étant des fonctions de x. En prenant les logaritbmes népériens des deux membres, on aura
lo,^' y = log' u + log' V -!- !og' Wj
et, par conséquent, en vertu du principe II,
,^, dy du , dv dw ^
ce qu'il s'agissait de démonircr.
PiiM.viiQUES. 1" Si Ton multiplie membre à membre les deux relations (1) et (2), on obtient
(5) dij=^vw du + uw dv -h uv dw ;
ce qui montre que la différentielle d'un produit peut être obtenue en multipliant la d'ifférentielle de chaque facteur par le
prodiui de tous les autres, et faisant la somme des résultats. Si, par exemple, on avait
y = x'"'. \ogx . sina;, on en déduirait
dii=]o'jx.s\nx.7nx'^~Ulx-hx'^sinx.~^dx-^ x^Aocx.cosxdx.
2" Si Fun des facteurs est constant, on obtient la différentielle cherchée en multipliant le facteur constant par la différentielle du produit des facteurs variables. Car si ii est constant, du est nul, et la relation (5) devient
dtj = u w dv H- uv dw = u ( w dv H- v dw) ,
or IV dv -+- V dw est la dilTérenlielle du produit vw. Si, par exemple, on avait
i/^4^Mog'j; on en déduirait
dti = i\ 0 a;\ \oa' x dx -{-x\- dx\
OU
(/)/ = 4 x^ ( 1 -I- 0 log' x) dx,
%%. — IV. La différentielle lo(jarithmique du quotient de deux fonctions est éijale à la différentielle logarithmique du dividende, moins la différentielle logarithmique du diviseur. Car si l'on a
on en dcduil yv^=u, et, en vcrlu du princi|>c précédent,
,^, dii dv du .. , (/(/ du dv
(2) — -! !=— ,dou— =^
^ ' y V u ij u V
ce qu'il s'agissait d'établir.
PRIiNClPES DE DIFFÉRENTIATION. 15
Remahoufs. 1° Si l'on multiplie membre à membre les relations (1) et (2), on obtient
, du udv vdu — iidv o) dij =z r = :, ;
c'est-ù-ilire, que jiour obtenir la dilférenlielle d'un quotient, il faut mtiltijiUer le dénominateur par la différentielle du numérateur^ retrancher de ce produit celui du numérateur par la différentielle du aenominateur, et diviser le résultat par le carré du déuominnteur.
Si, par exemple, on avait
on en déduirait
>v)X.''2xdx — x-ro$xdx x{'2m\x — xco<x)dx
du = r— = -— ^- .
>\n-x siira"
2° Si le dénominateur v est constant, dv est nul, et il reste
, du
du =—;
c'est-à-dire que, pour avoir la différentielle du quotient, il suffit de différentier le numérateur et d'écrire au-dessous le dénominateur constant.
.. . sïnx j ... coiixdx Anisi ? =: —^:~ donnerait du = - — ^ .
5° Si le numérateur u est constant, du est nul, et il reste
ndv
Si, par exemple, on avait
14 PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCLL LNFl.MTÉSDIAL.
on en déduirait
, 5.2 xdx , r, dx
23. — Fonctions de fonctions. Il peut arriver que y, au lieu d'être directement fonction de a;, soit fonction d'une variable intermédiaire î/, qui est elle-même fonction de x, et qu'on ait, par exemple, ij=f[u), avec u = o{x). On dit alors (\ue y esl une fonction de fonction. 'è\ x varie de ax, w variera de au, et ij variera de Mj. Or on a identiquement
et à la limite
Aj/ Ay AU AX au' AX
d]j d]) du
dx du ' dx '
ce qui exprime que la dérivée de y par rapport à x est égale à la dérivée de y par rapport à la fonction intermédiaire u, multipliée par la dérivée de u par rapport à x. En multipliant par dx, on obtient la différentielle dey.
Si, par exemple, on a
y = logu avec M=j;\
on en déduit
\o<ie ,„ , ha e . m x^~^
in]o'Zd
dx
et par suite
dx duz=m Ioi:(?. — .
24. — Au lieu d'une fonction intermédiaire, il pourrait y en avoir plusieurs. On peut avoir, par exemple, îy=/ (»), avec H = 5 (l') c\.v='^{x).
PIU.NCIPES DE DIFFÉRENTIATION. lô
Si X varie Je AX, v variera île aî; ; par suite, u variera lie ùiUy et y de Aij. Or, on a itlenlii]ueineiit
Mj Mj Ml A y
AX Ml ■ AV' AJ;'
et à la limite
dij dij du dv dx du' dv' dx^
c'est-à-dire que, pour obtenir la dérivée deij par rapport à x, il faut prendre la dérivée de y par rapport à «, la multiplier par la dérivée de m par rapport à v, et par la dérivée de v par rapport à x.
En multipliant ensuite par dx, on ohtiendra la différentielle di' [/.
Si Ton a, par exemple
y=\ogu, u=v"', î; = sinic,
on en déduira
(/// loue ,, , m loçf e . (.>ini;)'"""'.cosx
-,- = —.mv"'~^. cosa;=: ^^ — r^ — !-, ,
dx u (sina;)"'
d'où
, m]o(:'e.cosxdx ,
du = '^—. = m loii e . coixdx.
smx ^
25. — 11 peut arriver encore que y et x soient tous deui fondions d'une troisième vnriable a, et qu'on ait, par cxcm- |ile, j/ = 9 (a; avec x^='l{y.).
Si a varie de a?., x variera de àx, et y de mj. Or on a
i 'ci;tiquc!rcnt
^^k^, c. àlalirnUc '^=^^;
àX /àX\ dx / (/.l'\
c'est-à-dire que, pour obtenir alors la ilcnvéo de y par rapport à X, il faut prendre la dérivée de y par rapport à y., et la diviser par la dérivée de \par rapport à a.
Celte dérivée est exprimée en fonction de a; on l'oblien- .irait en fonction ôc x, en mettant pour a sa v;dcur en x tirée de la relation x:^'!j{y.).
En multipliant ensuite par dx, en aurait la différentielle dey.
Si, par exemple, on a
y=^sh'\oi. et x=^ky., on en tire
dil de , ,. , dii cnsa
-7^ = cosa et -7-r=A', d ou --^ = — -— . dx d-. (n k
Mais on a y. = T ; on peut donc écrire
