CALCUL DE L'AIRE DES SURFACES COURBES
«15. — On entend par Vaïre d'une surface courbe fermée la limite vers laquelle tend une surface polyédiale inscrite ou circonscrite. On peut toujours imaginer un polyèdre à faces triangulaires inscrit dans la surface proposée ; et si , par chacun de ses sommets, on mène des pians tangents à la surface, on détermine un polyèdre circonscrit. Si l'on multiplie indéfiniment le nombre des faces du polyèdre inscrit, et,
par suite, celles du polyèdre circonscrit, les aires de ces deux polyèdres tendent vers une limite commune ; c'est cette limilc qui est l'aire de la surface proposée.
Si la surface, au lieu d'être fermée, est terminée par un certain contour C, on peut concevoir qu'on ait pris sur ce contour un nombre indéfini de points pour servir de sommets au polyèdre inscrit, et qui seront en même temps les points de contact d'autant de faces du polyèdre circonscrit. Le polyèdre inscrit se terminera alors à une ligne brisée L inscrite au contour C, et !e polyèdre circonscrit se terminera à une ligne brisée L' circonscrite au même contour. (En négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on peut toujours admettre que deux tangentes consécutives de ce contour se rencontrent.) Quand on multipliera indéfiniment le nombre des sommets du polyèdre inscrit, et, par suite, le nombre des faces du polyèdre circonscrit, les lignes brisées L etL' tendront versleconlourC, et les surfaces des deux polyèdres tendront vers une même limite, qui sera encore l'aire de la surface proposée.
Il résulte de ces considérations que, dans une étendue infiniment petite, aux environs dun point pris sur la surface, cette surface peut être confondue avec son plan tangent en ce point.
On peut remarquer qu'on emjtloie des considérations du même genre dans la Géométrie élémentaire lorsqu'on regarde la surface latérale d'un c\lindre comme la limite de celle d'un prisme, celle d'un cône comme la limite de celle d'une pyramide, ou celle d'une sphère comme la limite d'une série de surfaces de troncs de cônes engendrés par les côtés d'une ii^ne brisée. «
216. — Surfaces de révolution. Soit AB la génératrice de la surface ; OX l'axe de révolution, AC et BD les traces des deux plans perpendiculaires à cetax ; et qui limitent la surface à évaluer. On peut, à l'aide d'une série de plans perpendiculaires à OX, diviser cet'e surface en zones élémentaires, telles
APPLICATION DU CALCUL DES IMÉGnALES DÉFÎMES.
Fi-
que celle qui serait engendrée par l'arc MM'. La corde de cel arc engendre la surface latérale d'un tronc de cône, dont la
mesure est ^ . 2tc (MP H- M'P') . MM'. Si M' se rapproche indéfiniment du point M', la corde MM' tendra vers l'arc élémentaire ds^ et la surface du tronc de cône tendra vers la zone élémentaire f/U de la surface considérée.
En même temps, si y représente l'ordonnée MP, l'ordonnée M'P' ou y -+- Mj tendra wrsy. On aura donc à la limite
(W = <2-y(Is',
cl si rt et & sont les abscisses qui répondent aux extrémités A et B de la génératrice, on en déduira
(1 ) \J=27: r y(h = 2- r y dx vT+T'-
L'équation de la génératrice étant donnée par rapport aux axesOX etOY, on en tirera y et y\ et l'on calculera l'intégrale définie qui forme le second membre de l'équation (1),
ait. — L Prenons pour premier (i\cVi\\i\c\^ zone S]}hérique . En plaçant l'origine au centre du cercle générateur, on aura pour l'équation de ce cercle
d'où l'on tire
x'-hy' = V.\
et
264 PREMIERS ELEMENTS DU CALCUL l.NTÉGRAL.
Substituant dans la formule (I), on oblient
(2) \] = 2t. r i\clx = 2-\{{b — a)
Ce résultat est conforme à la Géométrie , car il exprime que
l'aire d'une zone spliérique a pour mesure la circonférence
i'zR d'un grand cercle multipliée par la hauteur b — « de
zone.
IL On peut, comme exercice, calculer la surface engendrée
par une cycloïdc tournant autour de ladroitesur laquelle roule
le cercle générateur, c'est-à-dire autour de l'axe des x. On
trouvera U =^:^zR*, R désignant le ravon du cercle généra- ,) ' " °
leur.
218. — III. Nous prendrons encore pour exemple la surface de V ellipsoïde de 1 évolution. Nous supposerons l'ellipsoïde aplati aux pôles, ce qui est le cas du globe terrestre ; c'està-dire que nous prendrons pour axe de révolution le petit axe. Nous pourrons écrire alors l'équation de l'ellipse génératrice sous la forme
d'où
mais nous supposerons & > c, et nous poserons
Nous aurons d'abord
b'x' a'b^-hb'c'x* i+y'- = \ -i- -7-. = r^ — t
APPLlGATIOiN DU CALCUL DES INTÉGRALES DÉFÎMES. 205 d'où
et, en substituant dans l'équation (1), et ne prenant que la moitié de l'ellipsoïde,
^ l a b dx s, a' -]- c-x' '^-b C"- , -—
= 2- / ^— = — - dx\(i^-^rc'x^.
,0 a' a^ Jo
Pour effectuer l'intégration, nous poserons
Cl' ,, , a'
X = — u, a ou ax = — du ;
et, en substituant,
