fr/> r

u =z — — I du v'I + M-

Ir.n'b \

-7- • ry Dog' (" + v/1 + u-)-i-î<\/l +ît-]i

sans constante, attendu que l'aire doit s'annuler pour a'= 0 et, par conséquent, pour ?i=;0. Iveinettant pour u sa valeur

—, on trouve, après réductions,

-, r.arb , , ( ex ~\- ^ a* -h c- x-\ r.b x \, a' -+- r X'

C " \ (^ j fl*

aisant enfin x = a et réduisant, on obtient

,. -a -b ,fb-^c\ , J

L'aire de l'ellipsoïde entier en est le double, ou (0) — -log i---\+2r.h-.

Remarque. Cette formule doit redonner l'aire de la sphère quand on suppose b = a. Si Ton fait à la fois a = b et r. = 0, le premier terme de l'expression (5) prend la forme l. Mais le facteur variable de ce terme peut s'écrire, en regardant b comme constant, et mettant à part le facteur 2r&,

{b' — c') , .fA±J-\ b^—c^ 1, ,b-\-c :-- ^.loe' ITT. -:.] ou — ^ . ^ log'

c'est-à-dire

i ^ [log' {b + c)- log' {b + c)-\c los' l±l.

Pour 0=0, le second terme disparaît. Le premier prend la forme { ; mais, en remplaçant le numérateur elle dénominateur par leurs dérivées (81), on trouve

et pour c = 0, il reste

^ 6^ ^ , ou b,

La valeur de l'aire est donc

2t:&- + 2-b\ ou 4z&%

ce qui est bien l'aire de la sphère dont le rayon est b.

219. — Surface quelconque donnée par son équation. — Soit ABC une surface courbe dont l'équation est

Par des plans DEF, D'E'F' parallèles au plan des ^y, on la

APPLICATION DU CALCUL DES INTEGRALES fiEFriES. 2G7

décompose d'abord en zones élémentaires telles que DEE'D'; puis , par des plans MPP'M', NQQ'N', parallèles au plan des zx, on subdivise cette zone en quadrilatères curvilignes, tels que MM'M'. Si les distances telles que FF' et PQ deviennent infiniment petitci-', ces quadrilatères seront ce que l'on nomme les éléments de la surface ^'S- '^^•

considérée, et la somme de ces éléments , prise entre les limites convenables, sera Vaire de cette surface.

Concevons que l'on ait mené le plan langent en M; les plans MPQN et M'P'Q'N' d'une part, et les plans MPP'M', et INQQ'N' de l'autre, détermineront sur ce plan tangent un quadrilatère qui sera la limite vers laquelle tend MNN'M'. Or, ce quadrilatère déterminé sur le plan tangent a pour projection le rectangle PQQ'P'; en sorte que, si l'on appelle d\J rélén:ent MNN'M', ou le quadrilatère qui !ui correspond sur le plan tangent, et y l'angle que ce plan tangent fait avec le plan des xy, on aura, par une propriété connue,

rfU.cosY = PQQ'P'=f/xJ|/,

d'où

cos Y

Mais cosv a pour valeur (159)

cosY =

268 PREMIERS ÉLOIENTS DL CALCUL LNTÉGR.iL.

les lettres p et q désignant les dérivées partielles de z prises par rapport à a; et à y. Il vient donc

dU = dx dy \lf + ç- + 1 ,

(2) d\^=dxdijJr-^\ -4-(^-) -hi.

dxj \dy

L'aire demandée est la somme des éléments représentés

par CCS formules, dans laquelle il faut supposer qu'on ait

dz dz mis pour y- cl 7- leurs valeurs tirées de 1 équation (1) de iijc iiy

la surface. Mais, pour obtenir celte somme, il y a deux intégrations à faire. Si Ton fait d'abord la somme de tous les éléments compris dans la zone élémentaire DEED', x ne variera pas; mais il faudra faire varier y depuis y :^0, qui répond au plan des zx^ jusqu'à l'ordonnée FE delà courbe AB. Pour obtenir cet'.e ordonnée, il faut, dans l'équation (1) de la sur'acc, faire z^=:0, et en tirer y en fonction de x, ce qui donnera une valeur de la forme y = ? [x) . Cette première intégration, doimant Taire de la zone DEE'D', devia donc être faite de[mis y = 0 jusqu'à y = s{x). C'est-à-dire que l'on prendra d'abord l'intégrale indéfinie, en y regardant x comme constant; et, pour avoir l'intégrale définie, on remplacera successivement y par ç {x) et par zéro, puis l'on retranchera le second résultat du premier. Le résultat de ce calcul sera une fonction de x, multipliée par le facteur dx.

Il faudra ensuite faire la somme de toutes les zones élémentaires analogues ; pour cela, il faudra faire une seconde intégration par rapport à x, et dont les limites seront x = Oy qui répond au plan des zy, et x = OX:^a, qui répond au point A. Le résultat de ce calcul sera l'aire de la portion de la surface comprise dans le premier angle des plans coor-

APPLICATION DU CALCUL DES INTEGRALES DÉflNlES. 209 donnés. On le représente parVintégrale double

'^' "=r^^j?"""V(^i'Mî)'-'

ou bien

Plus généralement, et c'est notamment ce qui arrive quand la surlace ne coupe pas les plans coordonnés, on se propose d'obtenir l'aire de la partie de cette surface qui se projette sur le plan des xy, entre les deux courbes ayant pour équation

y='h{x), et y = o{x),

et qui peuvent être deux branches d'une même courbe, elles deux parallèles à Taxe des y, qui ont pour équations

x=a., et x = b.

On écrit olors

dxj \dijj

Et pour faire ce calcul il faut, comme ci-dessus: [" rem-

dz dz placer j- et -r-^ par leurs valeurs tirées de l'équation (1) de la

surface; 2° intégrer une première fois en regardant \ comme constant; remplacer ensuite y par les limites g (x) et'h{\), et soustraire le second résultat du premier; o" intégrer de nouveau par rapport à x; et remplacer enfin x par les limites h 't a, et soustraire le second résultat du premier.

zzo. — Nous nous proposons, oar exemple, d'évaluer l'aire

270 PREMIERS ÉLÉMIiiNTS DU CALCUL LNTEGRAL.

de la portion de la surface

qui se projette entre la droite ic + j/ =3, cl les axes des x et des y.

On tire d'abord de l'équation (5)

Sj'-^' - J=\/^

clx V 2 ' f/y V 2

Il vient donc, en appelant U l'aire cherchée,

u = / I dx dy \lx -{-y->ri.

L'intégrale indéfinie prise par rapport à y est

.{x-^y+iy-

si l'on met pour y les valeurs 5 — a; et 0, et qu'on retranche le second résultat du premier, on obtient

Multipliant par dx, et intégrant de nouveau entre les limites 0 et 3, on trouve

ou, en effectuant,

-j-rr , ou 7,/DD...

Ce genre de calcul se rencontre rarement dans les applications.