CALCUL DSS VOLUMES TERMINÉS PAR DES SURFACES COURBES
«ai. — Volumes terminés par des surfaces de révolution. Soit AB la génératrice de la surface, OX l'axe de révolution, OY un axe perpendiculaire au premier, AA.' et BB' les traces de deux plans perpendiculaires à Taxe OX, et limitant le volume qu'on se |)ropose d'évaluer. On suppose la courbe AB donnée par son équation
Menons une ordonnée quelconque MP, et par cette ordonnée faisons passer un plan perpendiculaire à l'axe de révolution. Désignons par V le volume compris entre les plans MP et A A' ; ce volume sera une fonction de l'abscisse a; du point M,
Si l'on suppose que le point M se transporte en M', et que OP ou X augmente de PP' ou ax, le volume V s'accroîtra du volume élémentaire aV engendré par le trapèze curviligneMPP'M'. Mais, si l'on mène Ml et M'H parallèles à OX, il est aisé de voir que le volume engendré par ce trapèze est compris entre les volumes engendrés par les rectangles MPP'I et Hl'P'M', lesquels sont des cylindres ayant respectivement pour mesure
On a donc
d'oi!i
T.ifàx, et X (y H- mjYax.
T.fAX < aV < x (î/ -h mjY ao;, aV
aV Mais si l'on fait tendre àx vers zéro, — tendra vers la dé-
d\ rivce de V par rapport à x, c'est-à-dire vers y- ; en même
temps î/+Ay tendra vers y, et les membres extrêmes des inégalités ci-dessus tendront à devenir égaux; on aura donc, à la limite
^=rJf, d'où dY = rAfdx,
et par conséquent
(2) V=z rifdx,
en appelant a l'abscisse du point A.
Pour avoir la valeur comprise entre les pians AA' et BB', il suffiia de remplacer la limiter; de l'intégrale définie (2) par l'abscisse du point B, que nous désignerons par b. Nous aurons ainsi
(3) v=z r'ifdx.
Et, pour effectuer le calcul, il suffira de remplacer y par sa valeur tirée de l'équation (1) de la génératrice, et d'effectuer l'intégration entre les limiter indiquées.
Remarque. — La figure suppose l'ordonnée y croissante ; si elle était décroissante, les mêmes raisonnements subsisteraient ; il n'y aurait de changé que le sens des inégalités qui nous ont servi de point de départ.
288. I. — Nous appliquerons d'abord la formule (3) à l'ellipsoïde de révolution. L'axe de révolution étant, par exemple, le grand axe, et le centre étant pris pour origine, on aura
APPJCATION DU CALCUL DES INTÉGRALES DÉFLMES. et, par suite,
dx-
2rt^
II. Nous prendrons pour second exemple le paraboloïdc de révolution, terminé par un plan perpendiculnire à l'axe de la parabole, qui est l'axe de révolution.
En mettant l'origine au sommet, on aura
if = 2px ,
et, par suite,
rx ^
(5) V = TT . 2]) / xdx = T:. p
r..if-X,
c'est-à-dire que ce volume est la moitié du c\lindre qui a pour rayon y et pour hauteur x.
III. On peut, comme exercice, appliquer la formule (3) au volume enjienJré parla cycloïde tournant autour de la droite sur laquelle roule le cercle générateur, c'est-à-dire autour de l'axe des x. On trouvera
R désignant le rayon du cercle générateur.
223. — Volume de VeUipsoide à trois axes inégaux. Ce volume peut être obtenu par une seule intégration, en remar- ([uanl que, dans l'ellipsoïde, toutes les sections parallèles sont des ellipses semblables.
Soit OABC la portion de l'ellipsoïde comprise dans le premier angle des axes ; soient OA = a , OB = & , OC = c les trois demi-axes.
Menons deux plans très-voisins MNP, M'N'P' parallèles
ail plan des zij; ils comprenJront entre eux un élément aV du volume que nous cherchons. Or, ce volume est compris entre les deux cylindres à base ellipti [uc qui ont poir hauteur commune PP' ou Ax, et j)our base l'un l'ellipse MNP, dont un quadrant seulement est représenté sur la figure, l'autre l'ellipse M'JS'P'. Si l'on fait tendre PP' vers zéro, ces deux cylindres tendront l'un vers 1 autre ; il en sera donc de même de l'élément aV compris entre eux; et à la limite on pourra écrire
(ly = ellipse MNP x dx
Si Q désigne l'ellipse CBO, et w l'ellipse MNP, on a, à cause de leur similitude,
o):q=mp'- .-ôc',
d'oij, en désignant MP par z-,
Par conséquent
Q d\ =z-z-dx.
Mettons pour z'^ sa valeur en x tirée de l'équation de l'ellipse AC, et intégrons entre les limitis — a et -ha, il viendra
y = ~r~- ia'—x')dx = ~.^a' = ^O.a.
MaisQ = z6c. Il vient donc enfin (6) "S^ïrMhc.
On peut suivre la môme marche pour obtenir le volume
