APPLICATION DU CALCUL DES INTÉGRALES DÉFLNIES

d'un segment de paraboloïde elliptique, terminé par un plan perpendiculaire à son axe principal. Si son équatioi es:

y* z* on trouvera pour l'expression du volume dont il s'agit

c'est la moitié du cylindre ayant pour base la même ellipse zî/2, et la même hauteur x.

22-5. Volume terminé par une surface quelconque dont on a ï équation. Reportons -nous à la figure et aux notations du n° 219. En employant le même mode de décomposition, on divisera le volume demandé en éléments prismatiques tels que M^'N'l^^P^Q'P. Soient i' la plus grande et z" la plus petite des quatre ordonnées MP, M'P', .\Q, rs'Q' ; l'élément de volume considéré aV sera évidemment compris entre les deux prismes qui ont pour base commune PQQ'P' et pour hauteur l'un 2', l'autre s", prismes qui ont pour mesure %' \x \ij Qi z"axmj. Mais si ix et Ay tendent simultanément vers zéro, z' ei 2" tendront vers l'ordonnée du point M, c'est-à-dire vers s ; on aura donc à le. limite

d\ = zdxdy,

el la somme de tous les éléments analogues à dV, prise entre les limites convenables, sera le volume V que l'on se propose d'obtenir.

Pour trouver cette somme, on aura deux intégrations à effectuer, comme au n° 219.

Dans le cas de la figure, on aura

fa /'y(x)

(7) V=j j^ zdxdij,

© (x) désignant l'ordonnée de la courbe AD, et a la longueur OA.

Si le volume cherché est compris entre les cylindres avnnt pour équation y = 'l)[x) et tj = z[x) , et les plans x = a, X:=b^ on devra écrire

Pour effectuer le calcul indiqué, on remplacera d'abord ^ par sa valeur tirée de l'équalion de la surface; on intégrera par rapport à y en regardant d'abord x comme constant, et, dans l'intégrale indéfinie obtenue, on remplacera y par les limites ç {x) et Cj {x) et l'on retranchera le second résultat du premier. On obtiendra ainsi une fonction de x, que l'en multipliera par dx, et l'on intégrera par rapport à x, entre les limites a etb; ce qui donnera le volume que l'on cherche.

Il est importa:U de se bien pénétrer du sens qu'il faut attacher à une inléfjrale double, telle que la formule (8) , sens qui est expliqué par la règle dont nous venons de donner le dé'.ail.

Remarques. I. Comme z peut être considéré comme l'intégrale de dz, on écrit quelquefois la valeur du volume V sous la forme

J a J'i'x, Jo

On a alors ce que l'on appelle une intégrcde triple. On intègre une première fois par rapport à 2, et Ton met pour zles limites f{x, y) et zéro, et l'on retranche ; on intègre une seconde fois par rapport à y, et l'on n:et pour y ses limites s (x) et à {x), et l'on retranche; on intègre enfin, une troisième fois, par rapport kx] on met pour x ses limites b et a, et l'on retranche.