API'LICATIO.N' DU CALCUL DLS INTÉGRALES DÉFINIES
Il est rnre qu'on ait à effectuer un calcul de ce genre pour le besoin des applications.
II. Le volume, au lieu d'être limité infcrieurement par le plan des xy, |iourrait l'être par une autre surface donnée z=^f^ (x, y). Les limites de 2, au lieu d'être [{x., y) et zéro, seraient alors f{x,y) et fj [Xy y). Cela ne changerait rien à la marche du calcuL
225, — Proposons-nous, comme exemple, de calculer le volume compris entre la surface qui a pour équation z^xy^^ le plan des xy, les cylinJrcs représentés par les deux équations y = — \2px et y = — sj^iix , et les deux plans qui ont pour équation a: = 0 et x^=a. Nous aurons
= 1 / .xij^ . (Ix du
L'intégration par rapport à y donne i.,r + consl.; et, en substituant à y ses limites, et faisant la soustraction,
= .'C.2(2/a-)' ou ::{1p)-'.x\ o o
Multipliant par dx et intégrant de 0 à a, on obtient
^{-2pY.^^.(â ou ^^{2pay.a\
ou, en nommant b l'ordonnée de la parabole y^^2j)x qui répond à l'abscisse a,
22«. — Calcul des volumes par approximation. Lorsque les intégrations nécessaires pour obtenir le volume d'un corps ne
peuvent pas s'effectuer, ou lorsque le corps a une forme irrégulière qui se refuse à toute définition géométrique, ce volume ne peut s'obtenir quepar approximation. Atinden donner un exemple, nous supposerons (|u'il s'agisse d'obtenir le volume d'un monticule de terre donné par son contour apparent sur le plan vertical de projection et par la projeclion horizontale de ses courbes de niveau.
Concevons qu'on ait divisé ce volume par des plans horizontaux en tranches très-minces ; et soit M'^P'Q'. MINTQ lune de ces tranches. Désignons par w l'aire de la section M'N', MN, par z sa distance au plan horizontal de projection ; soit az la distance des plans M'N' et P'Q' ; w — Aw l'aire de la section P'CK, PQ- La tranche considérée, dont nous représenterons le volume par aV, sera comprise entre les deux cylindres qui ont pour hauteur commune az et pour bases co et q — Aw ; on a donc
Fi-. 47.
d'où
(OAZ > aV > (ci) — Aw) AZ ,
i3ij> — > w — Ao),
AZ
Mais si AZ tend vers zéro, les membres extrêmes tendent à
aV devenir égaux tous deux à w ; en même temps — tend vers
Ar'i'I.ICATlON DU CALCUL DES INTÉGRALES DÉFLMES. 279
-7- ; on a donc a la luriite (Iz
ilY
— = co , d'où rfV = MCh ,
et, par conséquent, si h désigne la hauteur totale du monticule,
ch.
Comme oi n'est pas donné en fonction de «, on fera usage de la formule de Th. Simpson (196). On divi.-eia la hauteur h en un iiomhre pair n de parties égales ; par tous les points de division on mènera des plans horizontaux, qui détermineront dans le monticule autant de sections, que nous représenterons, en les numérotant à pailirdu bas, par w^, w,, w, ... co,,; «n vertu de la formule citée, on aura donc
Oïl
Dans cette formule o)„ est nul , et nous ne l'avons conservé que pour la symétrie.
Comme les aires w^, w^, Wj, ... ne peuvent élre elles-mêmes obtenues que par approximation, l'emploi de la formule (9) est assez pénible. Mais comme, dans les questions oîi l'on a recours à celte méthode, dans les questions de terrassements et de transport dos terres par exemple, une exactitude rigoureuse n'est pas nécessaire, on a soin de ne pas prendre le nombre n trop grand, afin de ne pas avoir un trop grand nouibre de sections à déterminer ; et, toutes les fois que cela est possible, on se sert des courbes de niveau déjà figurées sur le plan du terrain.
aaï. — On ajipelle équation différentielle toule équation nui contient, iiidépciulamnient des variables, leurs dilTérenlit'lles ou leurs dérivées d'ordre quelconque.
Les équations différentielles que l'on rencontre le plus fréquemment dans les applications, sont celles qui ne renferment que deux variables, dont l'une est considérée comme indépendante, et les dérivées de la première par rapport à cette variable indépendante. Ce sont les équations différentielles ordinaires.
On rencontre aussi des équations différentielles renfermant plusieurs variables, dont une seule indépendante, et les dérivées des premières par rapport à celles-ci ; par exemple, quatre variables x, ij, z, ï, etles dérivées de x, dey et de z par rapport à t. Ces équations se présentent alors par groupes et forment ce que Ton appelle un système d'équations différentielles simullanées.
On peut avoir à déterminer une fonction de plusieurs variables indépendantes, deux par exemple, connaissant la différentielle totale de cette fonction exprimée, soit à l'aide des variables indépendantes seulement, soit à l'aide de ces variables et de la fonction elle-même. C'est ce que l'on appelle une équation aux différentielles totales.
Enfin, on peut avoir â traiter des équations différentielles renfermant trois variables, dont une fonction des deux autres. et les dérivées partielles de la première par rapport à ces deux autres; c'est ce que l'on appelle improprement une équation aux différences jiartielles.
Z'iS. — Intégrer une équation différentielle, c'est remonter
de celle é(]iiation enlre les variables et leurs dérivées à la relation piimilive qui lie les variables elles-mêmes. Celle relation primitive est dite \' équation intégrale de l'équation dilfcrentielle proposée. Ainsi l'équation dilïérenlielle
a pour intégrale
/ \^x, tj) = constante.
De même que l'on démontre en algèbre que toute équation a une racine, on démontre, dans le calcul intégral, que toute équation différentielle a son équation intégrale. Mais la démonstration de cette proposition peut être omise dans une j)remière étude, et nous renverrons, à cet égard, aux traités spéciaux, et particulièrement awCoursde calcul différentiel et intégral de M. Serret, tome II, page 555 et suivantes,
229. — Les équations différentielles ordinaires se classent entre elles d'après 1 ordre le plus élevé des dérivées qui y entrent. Si, par exemple, il s'agit d'une équation différentielle entre deux variables x et ?/, elle sera dite du premier ordre si elle contient y', du second ordre si elle contient y", du troisième ordre si elle contient y"', et ainsi de suite.
Il en est de même pour les systèmes d'équations différentielles simultanées.
Il en est de même encore pour les équations aux différences partielles. Si, par exemple, il s'agit d'une équation aux différences partielles entre trois variables x, y, z, dont l'une z est fonction des deux autres, elle sera dite du premier ordre, si elle renferme les dérivées partielles du premier ordre
-r^ ou r ; elle sera du second ordre, si elle renferme les dé-
,.'2 y ,12^ Ai^
rivées partielles du second ordre -t—„ , - — ~~ , ou -,— ; et de
* dx- (Ix dy dg-
môme pour les ordres supérieurs.
2Si PREMIERS ELEMENTS DU CALCUL IMÉGRAL.
Nous nous occuperons d'abord de l'intégration des équations différentielles ordinaires, en commençant par le premier ordre.
§ 2. — DE L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES OU PREMIER ORDRE, A DEUX VARIABLES.
Z30. — On a vu, dans le calcul différentiel (51), que si l'on a une équation entre deux variables x et y, telle que ces variables y soient séparées, comme dans l'équation
(1) o(y)=^x), on en tire par la différentialion
(2) <f'{y)dy = 6'{x)dx,
c'est-à-dire que l'on peut égaler les différentielles des deux membres. Réciproquement, si l'on a une équation différentielle telle que l'équation (2), dans laquelle les variables sont séparées, elle exprime que les différentielles des fonctions primitives 9 et à sont constamment égales, et que par conséquent ces fonctions croissent de quantités toujours égales, d'où il résulte que leur dilTérence ne change pas, ou, en d'autres termes, que ces fonctions primitives ne peuvent différer que par une constante. On peut donc déduire de l'équation différentielle (2) la relotion
C désignant une constante arbitraire. La relation (3) est l'intégrale de l'équation différentielle (2) .
Ou voit que lorsque, dans une équalion différentielle du prs^mier ordre à deux variables, ces variables sont séparées, il suffit, pour obtenir l'équation intégrale, d'inté(jrer séparément les deux membres, et d'ajouter à iun d'eux une constante
nnS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET DE LEUR INTÉGRATION. 285
arbitraire. La relation ainsi obtenue est Vijilégrale générale ; si l'on attribue une valeur particulière à la constante arbitraire, on obtient ce que l'on appelle uneiittégrale particulière. Soit, par exemple, l'équation (liricrentiellc très-simple
( i) — = m dx.
on en tirera
log' .y:^mx-\-C,
d'où
(5) 7/ = e"'^+^, ou y — \e"'\
en posant A = e^. Si l'on attribue à A des valeurs particulières, on aura autant d'intégrales particulières de l'équation différentielle (4) ; et la relation (5) sera l'intégrale générale.
23 «. — La première cbose à faire pour intégrer une équation différentielle du premier ordre à deux variables est donc de séparer les variables s'il est possible. Il suffit le plus souvent pour cela de transformations algébriques analogues à celles qu'on fait subir aux équations du premier degré, qu'on veut résoudre, c'est-à-dire que l'on réunit en un seul tous les termes qui contiennent le facteur (/y, et en un seul aussi tous ceux qui contiennent le facteur Jx ; il ne saurait y avoir de terme indépendant de dij et de dx, car il faut pour Phomogénéité que tous les termes soient infiniment petits. En divisant ou en multipliant alors par un facteur convenable, on meltra l'équation sous la forme (2), et les variables seront séparées.
Soit donnée, par exemple, l'équation différentielle
^ (^IJ — y dx = dij \l \ -\- X- -\- dx v' 1 -h y%
on la mcllra sous la forme
(hj clx
Puur intégrer ensuite chaque membre, il suffira de mulliplier et (Je diviser le premier par y — \Ji-\-y* , et le second l)t\r X -T-\,/\ -{-X- ; nous ne nous arrêterons pas à achever ce calcul.
On peut remarquer que les variables se séparent immédiatement quand l'équation différentielle est de la forme
y'=^{x).à{y), car on en tire
—f~ = ç{x)dx.
Si, par exemple, on avait à intégrer
y'=x'{[-^f), on obtierdrait d'abord
(ly , ,
et, en effectuant les intégrations,
arc tang y= -x-' -h const.
Toutes les fois qu'on a réussi à séparer les variables, la question est dite ramenée aux quadratures, parce qu'on n*a plus à effectuer que des intégrations analogues à celles qu'il faut exécuter pour calculer l'aire d'une courbe.
233. — Quand l'équation différentielle proposée est homogène en X et y, c''est-à-dire quand tous les facteurs qui multi-
DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET DE LELTl INTÉGRATION. 285
plient soit rfjc, soit rfi/, sont du même degré, on parvient aisément à séparer les variables en posant ii = ux, u désignant une variable auxiliaire.
Soit
o [x^ y) clx -h ù {x, y) f/j/ = 0 ,
l'équation différentielle proposée, dans laquelle les fonctiono s et 0 sont supposées homogènes et du degré m. En mettant tix à la place dey, ces fonctions acquerront le facteur j;'", que l'on pourra supprimer; et, en remplaçant dij par sa valeur
iidx -i- xdu, il viendra
o(l,n) dx-i-à{[, it) {udx^xdii) = 0, d'où l'on lire
dx ^ 'J;(l, ?/K du)
équation dans laquelle les variables sont séparées. Pi enons pour exemple l'équation
X d\j — y dx = dx \x- -+- y- ;
on la transforme en
dx du
d'où
lo^' X = log' (» + \ 1 -h «-) -+- const.,
ou, en désignant par c une constante,
-=u -i- V l + ir = ^ -^- 4 /.) ^ yJ,
équation qui revient à
