X- — -cy — c

L'équation différentielle proposée résulte, en effet, de l'élimination de la constante c entre celte relation et sa dilfércritiellc.

233. — On sépare encore les variables quand l'équation différentielle proposée est linéaire par rapport à?/' et à y, c'està-dire lorsque ces deux quantités n'y entrent qu'au premier degré et n'y sont point multipliées entre elles. Une équation de ce genre peut toujoura se mcltrc sons la forme

(1) y'^yo{x)=f{x).

On pose alors

(2) y = uv,

u et V étant deux fonctions indéterminées de x. On en déduit

dy = u dv -+- V du ,

et, en substituant dans l'équation (1), après avoir multiplié par dx,

(3) u dv H- V du -+- nv s [x] dx = f [x) dx.

On voit alors que l'on peut satisfaire à cette relation en posant séparément

(4) udv = f{x)dx et

(5) du-huo{x)dx = 0.

La relation (5), mise sous la forme

h o(x) dx := U

DES ÉQUATiONS DIFFÉRENTIELLES ET DE LEUR LNTÉGRATION. 287 donne, en intégrant,

log' .u-\- I o [x) dx = const.

uj./, en désignant par X l'intégrale / ç [x] dx , dans laquelle

on peut faire entrer la constante,

log'.M+X = 0, d'où

Mettant pour u cette valeur dans la relation (4), on obtient

e~^ . dv = f{x) dx ou dv=^e^f [x) dx, d'où

(6) v= Ce^f{x)dx.

Par suite, il vient

(7) y = e-^.Je^f{x)dx

Cette méthode conduira donc à l'intégrale cherchée toutes les fois que l'on pourra offectucr les deux quadratures exprimées pnr X = / 9 (^) dx, et par l'équation (6).

Prenons [)Our exemple l'équalion

y' -hy——ax.

On aura ici

o [x) = [ et f [x] = — ax'j

par conséquent

X= / 1 . dx=x ,

288 PRBIIERS ELEMEîsTS DU CALCUL LNTLGRAL.

d'où

11 = e et

v = — / e'^ . axilx=za{\ — x)e'-i-C.

Par suite

ij = c-' .[a{\—x)e'-{'C], ou

y=:a{[ — x) -+-Ce~^ .