On ramène au cas précédent réqualion diffcronlielle

î/' + ?/?(•») = 1/7 (^)- Pour cela, on pose

y = lâ, d'où y' = h u''~^ . n\ et, en substituant,

k II"-'- . u' ■+- u^ o'x)= II"" f (x) , puis en divisant par /eu*"',

le li

Pour que celte équation devienne de même forme que l'éiiualion (1) du numéro précédent, il suffit que 1 on ait

kn — fc H- 1 = 0 , d'où

835. — La séparation des variables n'est pas le seul procédé qui puisse être mis en usage pour intégrer les équations

DES ÉnUATIO.NS DIFFÉRENTIELLES ET DE LEUR IiNTÉGRATION 289

(lifférenliclles du premier ordre àdeux variables. Une pareille équation peut toujours être mise sous la forme

(!) Mrfar-hNJy = 0,

.M et N étant des fonctions de x et de y. Or il [)(iit se faire (]ue le premier membre de cette éf|uation soit la difforeiiticllc exacte d'une fonction des deux variables x et y, considérées comme indépendantes. Si/'(.i-,j/) est cette fonction, l'inlé/^rale générale cherchée e&t alors

f[x, y) = const.

Soit, par exemple, l'équalion dilférentielle X (hj — y dx Q

On reconnaît que le premier membre est la différenlielle acte de l'arc dont la ta grale générale en posant

exacte de l'arc dont la tanî::fenle est — ; on aura donc linté- ^ X

arc lang -^ const. ,

ce qui revient à y = cx^ c désignant une constante arbitraire.

Mais pour que le premier membre de l'équation (i) soit une différentielle exacte, il faut (55) que la dérivée de M par rapport à y soit égale à la dérivée de N par rapport à x ; car M et N bont les dérivées partielles du premier ordre de la fonction /'.

Cttlc condition est remplie par l'équation (2). Or elle ne le serait pas par l'équation plus simple

(5) xdu — ij dx=Oj

puisque la dérivée de x par rapport à a; est + 1, tandis que la dérivée de — y par rapport à y est — 1. Le premier membre de l'équation (5) n'est donc pas la différentielle exacte d'une fonction des deux variables x et y. Mais on la rendrait différentielle exacte en multipliant le premier membre par le fac-

teur . On démontre qu'il existe toujours un facteur

x^ -h îj* •'

propre à rendre M da; + N f/y une différentielle exacte; mais la recherche de ce facteur dépend de l'inlégiation d'une équation aux différences partielles, c'est-à-dire d'un calcul plus difficile que le calcul directement proposé.

D'ailleurs, les exemples simples que l'on donne d'ordinaire peuvent toujours se traiter par la séparation des variables. Nous n'insisterons donc pas sur la méthode du facteur propre à rendre le premier membre de (i) intégrable.

23C. — Lorsque aucune des méthodes précédemment exposecs ne peut réussir, on peut, pour se faire une idée de l'équation intégrale que l'on cherche, avoir recours à un procédé graphique qui, bien qu'il ne soit qu'assez grossièrement approximatif, rend parfois des services dans les applications.

L'équation différentielle proposée peut toujours être mise sous la forme

Or l'équation intégrale cherchée peut être regardée comme

l'équation d'une courbe, et la relation (lidonne alors la valeur du coefficient angulaire de la tangente à cette courbe au point qui a pour coordonnées x, y.

Cela posé, ayant tracé deux axes rectangulaires OX et OY, on mènera une série de droites èB, cC, dD, eE, f¥, éipiidis-

DES ÉQUATIONS DIFFERtMIELLES ET DE LEUR INTEGRATION 291

tantes cl parallèles à l'axe des ij. Puis on prendra sur l'axe jIcs y un point arbitraire A, à une distance y^ de l'origine, et on admettra que la courbe chercliée passe par ce point A. On mettra dans le second membre de l'équation (1) les valeurs x = 0 et y=]JQ qui sont les coordonnées du point A; cette équation donnera alors l'inclinaison de la tangente en A à 1? courbe; et l'on pourra tracer celte tangente AT^. Son équation esl

Soit h l'intervalle de deux parallèles consécutives à l'axe des y. L'abscisse du point B où la tangente AT^ coupe b\j sera /t, et l'on obtiendra son ordonnée en faisant x = ]i dans l'équation (2). Soitî/j celte ordonnée. En négligeant les quantités tiès-petiles du second ordre, on pourra regarder le point B comme étant sur la courbe cberchée. On fera x = h et y:=:T/i dans la relation (1), qui donnera l'inclinaison de la tangente en B ; et l'on pourra tracer celte tangente BT^. Son équation sera

L'abscisse du point C où cette tangente coupe cG sera 2/i, et l'on obtiendra son ordonnée en faisant a;=^2/i dans l'équation (5). Soit 1/2 cette ordonnée. On admettra, comme ci-dessus, que le point C appartient à la courbe cherchée. On fera x=^1h et y^y., dans la relation (1), qui donnera l'inclinaison de la tangente en C ; et l'on pourra tracer celte tangente CTj. Son équation sera

{'^) y-y, = f{^Ky,){x-^h).

L'abscisse du point D où celle tangente coupe dd sera 5/i, et l'on obtiendra son ordonnée en faisanta;=5/i dans l'équation (4). On admettra encore que le point D est sur la courbe cherchée. En continuant ainsi, on obtiendra une ligne brisée

ABCDEF... qui approchera d'autant plus de la courbe cherchée que l'intervalle /i aura été choisi plus petit, et qui, dans beaucoup de cas, donnera une idée suffisante de la forme de la courbe. Le choix arbitraire que l'on fait du point A tient lieu dans celte opération de la constante arbitraire qui doit entrer dans l'équation iiitéi^^rale.

Si l'ordonnée devenait infinie, la construction serait en défaut ; maison peut faire disparaître cette circonstance en renversant l'équation (1) et écrivant

Au lieu de parallèles à l'axe des y, on emploierait alors des parallèles à l'axe des x. En employant avec discernement ces deux moyens, on peut presque toujours avoir, par aperçu, la forme de la courbe cherchée dans la région où l'on a intérêt à la connaître.

aaç. — Une équation dilférentielle du premier ordre àdeux variables peut être d'un degré supérieur au premier. Si, par exemple, elle ne contient que la première dérivée y', mais que cette dérivée y entre au second degré, l'équation différentielle sera du premier ordre, mais du second degré.

Dans ce cas, ce qu'il y a de plus simple à faire est de résoudre l'équation par rapport à y' ; on obtiendra ainsi deux équations séparées du premier degré, que l'on intégrera sépa rément, s'il est possible, par l'une des méthodes exposées cidessus. On obtiendra ainsi deux équations intégrales telles que

(1) !/ — fi(^, cj = 0 et y — fA^^C2) = 0y

c^ et Cj défeignant des constantes arbitraires. Et l'intégrale générale sera le produit de ces deux équations membre à

DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Ei' DE LELR INTÉGRATION 293 membre, savoir:

(2) \y-fA^,c,)][,j-f,{x,c,)] = 0',

car en différentiant celle-ci, on oblient

r,^ 1 [>J-fA^.c,)\[y'-f,'{x,c,)]

relation qui est évidemment satisfaite, soit que l'on adopte la solulion

y — fi (^, ^^i) = 0, d'où

soit qu'on adopte h solution

d'où

On peut même remarquer que Ton ne diminue pas la généralité de l'intégrale (5) en supposant c^=c^, attendu que ces deux constantes n'entrent jamais à la fois dans la solution q l'on choisit.

Soit proposée, par exemple, l'éijuation

on en tirera

y' = a ± a\/\ — sin-j; = fi (1 ± cosa;), d'où, en intégrant,

y=(tx-hc±: osina;.

L'intégrale générale sera donc

{ij — ax — c — a sin x) [y — ox — c -h a si n ;r) =: 0 ou

(y — ax — c)* — a' sin^ x = 0.

Si l'équation différentielle proposée était du degré n en y', on verrait de môme qu'on obtient l'intégrale générale en déterminant les n valeurs de y', intégrant les n équations différentielles du premier degré ainsi obtenues, passant tous les termes de chacune dans le premier membre, et multipliant membre à membre toutes ces équations, dans lesquelles il est permis, sans diminuer pour cela la généralité de l'équation intégrale, de représenter les constantes arbitraires par une même lettre. Mais on rencontre rarement, dans les applications, une équation différentielle d'un degré supérieur au second.

Lorsque léquation différentielle ne peut être résolue par rapport à y\ ou lorsque les équations différentielles du premier degré en y' que l'on en tire ne peuvent être intégrées, Tinlégrale générale ne peut être obtenue, sauf les cas particuliers où l'on peut avoir recours à quelque artifice que l'habitude du calcul suggère. On en trouvera des exemples dans les traités plus étendus.

238. — Il peut arriver qu'une équation différentielle du premier ordre à deux variables soit satisfaite par une relation entre ces variables tout à fait distincte de l'intégrale générale; et ne pouvant pas s'en déduire ; ce n'est point alors une intégrale particulière, et on lui donne le nom de solution singulière *,

* Quelques auteurs adoptent le nom de solution particulière; mais, dans ce cas, il faut éviter de confondre ce nom avec l'expression d'intégrale particulière.

DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ET DE LEUR INTEGRATION 293

Quelques considérations géométriques feront comprendre l'origine de ces solutions.

Soit

l'équation différentielle proposée, et soit

son intégrale générale. Celte éijuation (2) représente une famille de courbes, dont Venveluppe (106) a pour équation l'équation qui résulte de l'éliniinaiion de la constante c entre F (x, î/, c) =0 et sa dérivée par rapport à c. Soit

l'équation de l'enveloppe. On a vu que le caractère géométrique de cette courbe est dclre tangente à toutes celles qui sont comprises dans l'équation (2). Par conséquent, si ic et y désignent les coordonnées du point de contact entre Tenvcloj)pe et l'une des enveloppées, on obtiendra pour y' la même valeur, soit (|u'on la tire de l'équation différentielle proposée (1), soit qu'on la tire de l'équalion (5) de l'enveloppe. 11 en résulte que l'équation (3) satisfait à l'équation (1), bien qu'elle ne soit pas en général comprise dans l'équation (2). C<^ n'est donc pas une intégrale parliculière, comprise dans Tin légrale générale ; c'est une solution singulière. Considérons, par exemple, l'équalion

' cm — c

qui représente une famille de droites, lorsqu'on y fait varier la constante c.

Si on la différenlie, ce qui donne

(5) l+?!=:0, c VI — C

290 PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL liNTÉGRAL.

et que l'on élimine c entre les relations (4) et (5), on obtient, après réductions, l'équation

(G) [xy'^-{x-hy-m)y' + y] = 0,

qui est l'équation différentielle de toutes les droites représentées p.ir l'équation (4).

On peut remarquer qu'elle est satisfaite par x^=0 ; mais celte solution provenant du facteur x, qui peut être supprimé, n'est point la solution singulière. Si l'on cherche l'équ.ition de l'enveloppe des droites (4) , et que pour cela on élimine c entre celte équation et sa dérivée par rapport à c, on obtient (108)

(7) (\/iC H- \/ï/)' = rn ou y^x-hm — ^s/mx,

qui est l'équation d'une parabole. Or, si l'on différcntie cette dernière, on en tire

valeur qui, substituée dans l'équation différentielle (6), satisfait à cette équation. L'équation (7) est donc la solution singulière.

239. — Lorsque, comme dans l'exemple précédent, on a l'intégrale générale, on voit (|u'il est facile d'en déduire la solution singulière, s'il y en a une, puisqu'il suffit d'opérer comme s'il s'agissait de trouver l'équation de l'enveloppe des lignc'^ représentées par l'intégrale générale.

Mais lorsqu'on n'a pas l'intégrale générale, il faut opérer d'une autre manière, que les considérations géométriques aideront encore à comprendre.

Soit M le point de contact de l'enveloppe avec l'une des enveloppées. Cette enveloppée est coupée par une enveloppée infiniment voisine en un point M' infiniment voisin du point M;

DES ÉQL'ATIO.NS DIFFÉRENTIELLKS ET DE LEUR INTÉGRATION 297

et, au point M', ces deux enveloppées ont généralement des tangentes distinctes ; c'est-à-dire qu'au point M' la dérivée îf a deux valeurs dilférentes, selon que l'on considère l'une ou l'autre des deux enveloppées dont il s'agit. Mais, si l'on fiiit tendre le point M' vers le point M, chacune des deux tangentes dont il s'agit tend vers la tangente en M ; par conséquent, au point M lui-même, les deux valeurs de y' qui étaient distinctes se confondent en une seule, c'est-à-dire que l'équation /"(x\ y, y') = 0 donne, en ce point, pour y', deux valeurs égales. Or le caraclère des racines multiples, c'est que la dérivée de la fonction devient nulle ; au point M on doit donc avoir

et, si l'on élimine y' entre les équations /"(a;, y, if) =0 et -i-^ ^ 0, on obticmJrj une relation entre x e\. y qui appartiendra à tous les poiijls de l'enveloppe ; ce sera donc la solution singulière qu'il s'agissait d'obtenir.

Dans l'exemple du numéro précédent, si l'on égale à zéro la dérivée, par rapport à y' du premier membre de l'é(juation (6) débarrassée du facteur étranger x, on obtient

2iij' — {x-{-y — m)=0,

et, en éliminant y' entre cette relation et l'éijuation (6), on trouve

y = x-{-mzp^ \^mx,

c'est-à-dire qu'on retombe sur l'équation (7), attendu que, dans l'une ou l'autre , le radical porte nécessairement avec lui le double signe. Ainsi on retrouve, par cette méthode, la solution singulière qui avait été déduite de l'intégrale générale.

-'i)8 PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL INTEGRAL.

Mais, pour le succès de la métliode, il faut avoir soin de préparer l'équation différentielle de manière à ne pas contenir de radicaux. Nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet.

§ 3. — DE L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE, A DEUX VARIABLES.

240. — Dans le cas le plus général, une équation différentielle du second ordre à deux variables x et y contient, indépendamment de ces variables, les dérivées du premier et du second ordre if et y". Mais nous considérerons d'abord quelques cas particuliers.

Le plus simple est celui où l'équation différentielle se présente sous la forme

En multipliant par dx et remarquant que y"dx=^dij\ on obtient

dy' = f{x)dx, et, en intégrant,

y' = ff{x)dx-^G.

Supposons que l'intégration indiquée puisse se faire, et soit o {x) l'intégrale obtenue, on aura

Multipliant de nouveau pardx, et remarquant que y' dj; = (/y, il viendra

dy=:(f [x) dx-i-C dXi

et, en intégrant,

y= j o{x)dx-+- Ce H- C,

C dcsifïnant une nouvelle constante arbitraire. Si l'intégration indiquée dans le second membre peut s'effectuer, on obtiendra ainsi y en fonction de x. La relation obtenue par ce moyen seraTinlégrale générale cbercbéc. Onromar(iue qu'elle contient deux constantes arbitraires C et C'. Soit pour exemple réquation différentielle

if^cosmx, on en tirera successivement

r , ^ sin mx ri

1]'= / cos mx dx -\- L =z h Cl,

\ r ' » n n, CO^mX r m

i} = ~ j i^mmx(Jx-+-Cx + C'= ; hCx-{-C'.

24i. — On traite aussi facilement le cas où l'équation dilférenlielle se présente sous la forme

On a, en effet»

Xi"— ^ = y^ = 1^ •

•^ dx y'dx dy '

on pourra donc écrire, en multipliant l'équation proposée par dij,

y'dy'=f{y)dy^

et, en intégrant,

ff{y)<^y + C'

Si l'intégration indiquée peut s'effectuer, soit 9 (y) l'intégrale obtenue, on aura

jy'^=2?(y) + 2C, d'où î/' = v/2?(y) + 2G

Remplaçant alors y' par -r^, on sépare aisément les variables et l'on obtient

et, en intégrant,

et, si l'intégration indiquée peut s'effectuer, on a ainsi x en fonction de y ; la relation obtenue est l'intégrale générale. On voit qu'elle renferme encore deux constantes arbitraires. Soit, pour exemple, l'équation diflércnticlle

on obtiendra successivement

= / a^ydy

d'au

puis

dx^=

et, en ii

itégrant, x^=

^og'(„ +

\Jt

24«. — L'équation différentielle du second ordre à deux variables se trouve immédiatement ramenée au premier ordre quand elle ne contient aucune de ces deux variables, mais

seulement les dérivées du premier et du second ordre. Car si l'on a à intégrer l'équal ion

en remarquant que y" est la dérivée première de if, on voit qu'on a affaire à une équation du [iremier ordre entre if itsa dérivée. Supj)Osons que l'intégration puisse s'effectuer, on obtiendra y' en fonction de x et d'une constante arbitraire C; soit

l'intégrale trouvée. En multipliant par dx et intégrant de nouveau, on obtiendra

y= jo{x, C)dx + C';

ce sera l'intégrale générale, avec deux constantes arbitraires, de l'équation du second ordre proposée.

Soit, pour exemple, l'équation différentielle

on en tirera, en remplaçant y par -p-, et séparant les variables,

adx= ^

et, en intégrant,

flj; + C^log'(y'-hs/r+7^), relation qui revient à

en remplaçant é" par A. — On tire de là

Multipliant par dx et intégrant de nouveau, ou obtient

c'est l'équation intégrale cherchée.

243. — L'équation différentielle du second ordre se ramène encore an premier lorsqu'elle ne contienl, avec y" et y', que l'une des deux variables x ou î/.

Supposons, par exemple, qu'elle soit delà forme

î/-l-9(rr).y'-|-.]>(a:) = 0.

En multipliant par Jx, on pourra écrire

f/y' + 0 [x] . ij' dx -h à (x) dx = 0,

équation différentielle du premier ordre entre y' et x. Si on peut l'inlcyrer, on obtiendra une intégrale de la forme

multipliant de nouveau par dx et intégrant, on obtiendra y= ff{x,C)dx + C',

et, si l'intégration indiquée peut s'effectuer, on aura enfin y en fonction de ic, avec deux constantes arbitraires.

Supposons, au contraire, que l'équation différentielle proposée soit de la forme

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET DE LEUR LMÉGRATION r)03 Ml remplaçant y" par — ,— , et multipliant par (/y, on aura

y'dif-^?{y)y'dy-hàiy)(hj = 0,

équation Hiffôrentielie du premier ordre entre if et y. Si on eut l'intégrer, on obtiendra une intégrale de la forme

y' = f{yi-hC.

dy Remplaçant?/' par -p, séparant les variables et intégrant, on

trouvera

et, si l'intégration indiquée peut s'effectuer, on aura enfin x en fonction de y, avec deux constantes arbitraires. Soit, pour premier exemple, l'équation différentielle

on en tirera

dy' dx y' + a " Y '

c>t, en intégrant,

log' (y' -\-a) = log' a; H- log' C = log' Cx , d'où

y' = Cx — a.

Multipliant par dx et intégrant de nouveau, on trouvera

\ y = -Cx' — ax-hC.

50 i PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.

Soit, pour second exemple, l'équation différentielle

on en tirera

^ = y' iU -+- a) ou dif = (î/ + o) (hj ,

et, en intégrant une première fois,

Remplaçant y' par -j^ et séparant les variables il viendra

7/ -+- '2aij 4- 2G ' et, en intégrant une seconde fois,

X = - . arc tang — ^ H- L .

«44. — On rencontre fréquemment dans les applications un geiireparticulierd'équations différentielles du second ordre, ce sont celles où la fonction y et ses dérivées y' et y" n'entrent qu'au premier degré et ne sont pas multipliées entre elles, équations auxquelles on donne, à cause de cela, le nom d'équations différentielles linéaires.

Le cas le plus simple est celui oii tous les coefficients sont constants et où il n'y a pas de terme indépendant des variables ; où, par conséquent , l'équation différentielle peut

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLLS ET DE LEUR LNTÉGHATlâN 505 être mise sous la forme

p et q étant des constantes données.

Dans ce cas, on pose

d'où

y'=^Cme""' et y" = Cm^e'''i

en substituant dans (1), on obtient

Ce'"* {m^-\-mp + 9) = 0,

et l'on voit que l'équation différentielle sera satisfaite si m est une des racines de l'équation

(2) m^-i'mp-^q = 0.

Supposons d'abord que cette é(juation ait ses racines réelles et inégales, et désignons-les par m^ et m^. L'équalion différentielle proposée sera satisfaite par les deux relations

(5) y — Ce'"'' et y = C'e"-^ .

Mais il est aisé de voir, et cela tient a la forme linéaire de l'équation (1), qu'on satisfera encore à celle é(|uation en prenant pour?/ la somme des valeurs exprimées par les relations (5), et en posant

(4) î/ = Cd""^4-CV'"^^

Or cette dernière relation sera l'intégrale générale cherchée, puisqu'elle contient deux constantes C el C.

Si, par exemple, on a h intégrer l'équation différentielle

y"—{a-h-b)D'-i-abij=0,

on trouve, en suivant la marche indiquée, que l'intégrale générale est

«45. — Lorsque les racines de l'équation (2) sont égales, la niétliode tombe en défaut, parce que l'équation (4) revient alors à .

yu=(CH-C')^

et ne contient plus qu'une constante arbitraire C -h C On procède alors d'une autre manière. Soit

(5) y"-^2py' + p^y = 0

l'équation proposée ; elle se trouve dans le cas que nous examinons, puisque l'équation (2) deviendrait

m*— 2/jm+;)*^0 ou (m — ;;)*^0,

équation qui a ses deux racines égales. On pose dans ce cas

(6) y = e^{Cx-hC'), d'où

y' = me'^ (Cj; -h C) + Cd""et

y" = m'e""^ (Cx + C) -+- 2C me"".

En substituant dans l'équation (5), on obtient

[Cx H- C) (m* — ^pm -h p*) + 2C [m — p) = 0,

et l'on voit que cette équation est satisfaite en prenantm=]j. Ainsi l'intégrale générale est alors

y = eP'{Cx-hC').

t46. — Lorsque les racines de l'équation (2) sont imagi-

nains, on pourrait passer des exponentielles imaginaires aux lignes trigonométriques à l'aide des formules 'connues. Mais

on peut poser directement

on en déduit

y' = Cae''"^ cos {^x -h C) — Cpe^'^ . sin {^x + C), et

7/= Cx*e''^ co=;((3a;+ C) — SCaiid^"^ sin (^j; -+- G ) — C^'d^'"^ cos (fia; + C').

En substituant dans l'équation (1), on obtient, après avoir divisé par C e^^ ,

{a«— fi^H-])a + q) cos {^x-{-C')—^{'2a-hp) sin {^x+C')= 0,

et l'on voit que l'équation est satisfaite en posant

a« — [i*H-/)aH-(/ = 0 et '2x-hp = 0, d'où

La valeur de 3 ainsi trouvée est réelle, puisque, les racines de l'équation (2) étant supposées imaginaires, on a

«4». — Si, dans l'équation (1) du n" 244, le second membre, au lieu d'être nul, avait une valeur donnée, et qu'on eût

on ramènerait ce cas au précédent en posant y = u-l--'. car, en substituant cette valeur, il vient

u" -hpu' + qu=0.

«48. — Lorsque les coefficients de l'équation linéaire du second ordre sont fonctions de la variable x, l'inlégralion ne peut s'effectuer que dans des cas particuliers. On pose alors

yzrrg", d'où y' = €".11' et 7j"=e''u"-h e"u\

cl, en substituant dans l'équation (l) et supprimant le facteur e",

u"-^{\ +p)u'-h(j = 0, ou

du' 4- (1 -h p) u' .dx -h-q dx = 0,

équation différentielle du premier ordre entre ii' et x. Si elle peut s'intégrer par quelqu'une des méthodes exposées plus luiut et que son intégrale soit

u'=--f{x)-hC, on en tirera

u= l'f{x)dx-hCx-hC\

et l'on aura, par suite, la valeur de y. Ce sera l'intégrale générale, puisqu'elle contient deux constantes arbitraires C et C,

249. — Enfin si, par un moyen quelconque, on a réussi à trouver une intégrale particulière de Téquation différentielle proposée, la recherche de l'intégrale générale pourra être ramenée à l'intégrati-^n d'une équation différentielle du premier ordre à deux vat'iables.

DES ÉQUATIO-NS DlFFÉRE.MltLLES ET DE LEUK IMÉGRaTION où9 Soit, en effet,

(a) jf'^p,y^(yj = u

l'éqiialiDn dirCérentielle proposée, et soit Y une intcprale particulière de cette équation, c'est-à-dire une fonction de x (jui, mise à lu place de y dans (a), salisfassc à celte relation. Un posei'a y = Yii, u désignant une nouvelle funclion de x. On en déduit

ij' = Y' n H- Yu' et y" = V" w + 2 Vu' -+- Vu",

et, en substituant dans («), on oi;tient

\n" + ( 2V' + p\) u' + (V" -4- pX' 4- f/Y) u = 0.

Or la dernièi-e parenthèse est nulle puisque, par liy[)otlièse, la fonclion V satisfait à l'équation [a) ; il reste donc

(6, YV' + ('2ï'+,,Y)„' = 0, o»^ + '-'''Y^"'^ = 0.

équation différentielle du premier ordre entre u' eix; les variables s'y trouvent immédialemant séparées. Si

est l'intégrale de celte équation, on en tirera, comme plus liaut,

u = j f(x) dx-i-Cx-{-C', et, par conséquent, la relation

I l{x)dx-hCx-hC'\

qui sera l'intégrale générale.

510 PREMIERS ELEMENTS DU CALCUL IlNTÉGRAL.

La même méthode s'appliquerait encore si le second membre de réquation (a), au lieu d'être nul, était une fonction de X] mais l'équation du premier ordre entre u' et x serait moins simple.