DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES

«50. — Considérons d'abord deux équations diflérentielles simultanées du premier ordre entre trois variables x^ y et t, dont les deux premières sont fonctions de la troisième. Ces équations seront de la forme

et il s'agit d'en déduire xcty en fonction de t. Pour cela, la méthode générale consiste à diffcrentier les deux équations (1) par rapport à t. On obtient ainsi deux équations de plus, qui contiennent, outre les quantités contenues dans les

(l^x d'il relations (1), les dérivées du second ordre -7-r- et -—. Si,cn- ^ " dt' dC" '

tre ces quatre équations, on élimine les trois quantités ~ ,

-7^ et î/, il restera une équation ne contenant que —r-r-, t- eta;.

Ce sera donc une équation différentielle du second ordre, entre x et/. Supposons qu'on puisse l'intégrer, on obtiendra une intégrale générale de la forme

(2) x = f{t,C,Qf).

dx contenant deux constantes arbitraires C et C On en tirera -r-:

et, en substituant dans l'une des équations (1) pour x et

dx pour -7- leurs valeurs en fonction de f, on aura une équatioc

DLS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELl-Es ET DE LEUR INTEGRATION oll

(iirférenlielle du premier ordre, entre y et t. Si elle peul, s'inlégrcr , on obtiendra une intégrale générale de la forme

contenant une nouvelle constante arbitraire. Les relations (2) et (5) seront les équations intégrales du problème.

251. — Celle méthode est rarement applicable dans toute sa généralité; mais il arrive souvent que les équations simultanées sont linéaires par rapport aux variables j; et y et à leurs dérivées, et sont de plus à coefficients constants. En éliminant alternativement entre elles les dérivées -r- et -^ ,

dt dt

on obtient deux équations différentielles simultanées, équivalentes aux premières, linéaires comme elles, et de la forme

(4) ^-|-f-u'j;-l-%=:C, -l + a'x-hb'ij = C'.

On fait disparaître les seconds membres en posant

x = u-hhj y = f -j- k,

et déterminant h et k par les relations

ah-\-bk^C, a'h-\-b'k = C^.

Il reste alors deux équations de la forme

(o) -n +-au-\-bv = Oy -f- -{- au-hbv=:0.

^ ' dt ' dt

Tirons v de la première, nous aurons

,a\ 1 <'" (' 1. > dv 1 d*w a du

^ ' b dl b ' dt b dt' b dt

Portant ces valeurs dans la seconde équation (5), ordon-

liant et chassant le dénominateur b, on obtient

^'^ ^ + (a + fe')^' + K-a'/.)u = 0,

équation linéaire du second ordre entre u et t, sans second ii:cm])i'e et à coefficients constants. Elle pourra donc s'intégrer parla itétliodo des n'"244 et suivants, et l'on obtiendra une inlé^iale "énérale de la lorme

avec deux constantes arbitraires. On en déduira -7- en fonc-

tion de / ; et, en substituant pour u et -— leurs valeurs dans

' (tt

la première des équations (6), on aura ia valeur correspondante de V. On en déduira immédiatement les valeurs de x et d(! y.

Prenons pour exemple les deux équations simultanées

(8) ''^^+x-4y = \ et ^^+5a;-6y = 6,

qui ont la l'orme des équations (4).

Les équations (jui donnent h e[ k seront ici

h — Ak= 1 et ùh — Qk = G,

qui donnent

h = ô et k=^x.

On posera donc

(9) x = u-{-'5 et j/ = v-4-^

et l'on aura les équations sans second membre

^10) ^' + u 4î; = 0, et ^ + ^u — Qv = 0. (Il "f

LLS EOLATIOiNS DIFFÉRKNTIKLLES 1;T DE LEUR IiNTÉGRATION 515

!^ti suivant la marche indiquée, on aura à intégrer i'équa • liun (lu iccouti ordre

d*îi , du , ^ ___5^ + 6,< = 0,

dent l'intégrale générale (244) est

u =z Ce'' + CV.

On en tire

||^ = 2Cd^'-}-5CV',

et en substituant dans la première des équations (10), on

rouve

r = y [2Cr' + 3C'e^' + Ce^' + C'e^'] = ^ Ce'' + Ce''. 4 4

Par suite

x=zCe"-hC'e''-ho et 7;r=^Ce^' + CV'-h L

«52, — Nous supposerons maintenant que l'on ail à intégrer un système de trois équations simultanées du premier ordre entre les variables x, y, z, f, dont les trois premières sont l'onction de la quatrième ; on conçoit que l'on pourrait suivre une marche analogue à celle du n" 250, On dilférenticrait deux l'ois par rapport à t chacune des équations proposées; on aurait ainsi neuf équations, entre lesquelles on pourrait éhmincr

, , .. .-,' d'il d^ii du d'z d^z dz .,

le. hu,t quanl.les -, ^„ -, y, ^,. ^,. j^, .; ,1 reslc.a.t

une équation différentielle entre ic et ï, mais elle serait du troisième ordre. Une fois cette équation intégrée, on mettrait jiour X sa valeur en t dans deux des équations proposées, et la question serait ramenée à l'intégration d'un système de deux

équations simultanées et du premier ordre entre y, z et t. Mais cette méthode, purement théorique, n'est jamais employée.

Nous considérerons sur-le-ch;unp le cas le plus simple, et qui se rencontre dans les applications , celui où les équations proposées sont linéaires et à coefficients constants; par une transformation analogue à celle du numéro précédent, on peut toujours les ramener à avoir zéro pour second membre. Elles sont alors de la forme

-7- -I- ox -f- &y -f- C2 = 0,

(11) 'lll^a'x^b'y + c'z = 0,

Il existe plusieurs méthodes pour intégrer les équations de ce genre. Nous nous contenterons de faire connaître la suivante, qui pourrait aussi être employée dans le cas de deux variables.

On pose

x = Ce'^\ y = \W', 2=ixCc''', d'où l'on tire

dt ' dt ^ dt ^

On substitue ces valeurs dans les équations proposées; el, après avoir divisé par Ce"'', il reste

m -h a + \h -\- ]j.c = 0, ( 1 2) m\ -\- a' + W + ij.c' = 0 ,

Si l'on élimine a et [x entre ces trois équations, on obtient une équation du troisième degré en m. Soient m,, m, et m^, ses trois racines ; et soient Cj, C,, C^, trois valeurs arbitraires de C, correspondantes à ces trois racines. A cause de la forme linéaire des équations (H), on reconnaît qu'elles seront salisiaites par le système de valeurs :

(1 3) y = \C,e"''' -+- Ifi.e"'^' -+- \C. c'""-' ,

les lettres Xj, X, 'a,, y.^, [;,, \)^ représentant les valeurs de X et de \). qui correspondent respectivement aux trois racines de l'équation en m. Les équations (13) seront les intégrales générales du système d'équations différentielles proposées.

253. — Quant aux équations simultanées d'ordre supérieur au premier, elles donnent lieu à des calculs de plus en plus compliqués à mesure qu'elles sont d'un ordre plus élevé , et elles ne peuvent être intégrées que dans des cas tout à fait particuliers.

Pour ne parler que du cas d'un système de trois équations différentielles entre trois variables x, y et t , si l'une était du deuxième ordre et la seconde du [)remier, on pourrait différentierlapremière une fois par rapporta f, et la seconde deux fois; on obtiendrait ainsi cinq équations, entre lesquelles on pour-

•• M- • I . .-.' d^'l d-y dij . -, .

rait elimnier les quatre quantités -ry, -~, -p, y, et il reste-

tcrait une équation entre x el t ; mais elle serait du troisième

ordre.

Si les équations proposées étaient toutes deux du second

orilrc, on pourrait différentier deux fois chacune d'elles par

rapport à t ; on aurait ainsi six équations, entre lesquelles ou

... . •. , • ,-,- d*V f/'y d*ij du . .,

éliminerait les cinq quantités ■— , ~ , ~^ —- ci\j\n res-

516 TREMIERS ELEMENTS DU CALCLL LMÉGRAL.

lerait une équation différentielle entre a; et t , mais elloscrait (lu quatrième ordre.

Nous renverrons, pour de plus amples détails sur ce sujet, aux traités plus étenius, le cas d'un système d'équations différentielles simullanées d'ordre supérieur au j)remier ne se piéstntant pas dans les applications usuelles.