DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TOTALES
254. — Nous nous bornerons au premier ordre et au cas de trois variables x, //, z, dont la dernière est fonction des deux autres. Le problème à résoudre est d'abord celui-ci : étant donnée une dilféreiitielle exacte de la forme
( 1 ) dz=^o {X, y) dx -j- 6 (x, ij) dij,
en déduire la valeur de z en fonction des variables x et y. Pour que cette équation soit intégrable, il faut qu'elle remplisse une condition. Les fonctions 9 '.x, y) et à {x,y) doivent être les dérivées partielles de z par rapport à x el a y pour que le second membre de (1) soit une différentielle exacte. Or, on sait (55) que l'on doit cvoir, en général,
dx dy dy dx'
Dans le cas actuel, celte relation devient do (x, y) db {x. 7j) ,
dy dx
c'est la condilion d'intégrabdité que l'équation différentielle proposée doit remplir. Si on la suppose satisfaite, on a d'abord
dz , , ,. , d-z f/s (x,ii)
— = -; (x, y) , d ou -r—r = ' , ^ di -(^ '^1' dxdy dy '
DES ÉQUATIONS DIFFÉRliiNTlELLES ET DE LEUR INTÉGRATION 517 on en lire
(lz=. G {x, ij) dx,
cl, en inlégranl par rapport à x, on oblicndra z; mais il faut bien remarquer qu'il ne suffira plus ici d'ajoutei- au i^eci ml membre une constanlc aibilrairè; car, dans ladifférentiatiori de z par rapport à x, une fonclion de y seul peul avoir disparu ; ce qu'il faut ajouter au second membre après l'intégration, 'î'estdonc une fonclion inconnue ôey. Si l'on réprésente par <l>(x, y) l'intégrale de 9 (.r, y) dx par rapportât, on devri donc écrire
(5) z = ^lHx,y)-hf{y).
/désignant la fonction inconnue.
Si maintenant on différentie [)ar rapport à y, on aura
dx. d^nx^y) ^, , .
dy-' dj "'^''^^^•
Celle valeur devant être égale à ^ [x, y), on a «
(4) 'iâ^ + p^y,=^.,j„ d où f,y) =.Mx,j) - ^-^{^
Celte relation fait connaître f {y) ; et, en intégrant par rapport à y, on aura /'(y). Par suite, l'équnlion (5) donnera z.
Soit, par exemple, l'équation
dz= {2axy' -i- Inj -+- 2(j;) dx H- {2ax^ y-\-bx-{- ley) dy. On aura d'abord
-^=2 axy^ -\-by -\-1cx,
et
dy ^
Multipliant la première de ces relations par Jx, et intégrant par rapport à x, on trouvera
z=. ax^ y^ — bxy -h ex* -h /" {y) .
Par suite,
dz
j='2ax'y-hbx-hr{y).
En comparant cette valeur à celle qui est écrite plus haut, on en conclut
r{y)='2ey, d'où f{y) = ey'- + C.
Par suite,
» = flx* y' H- bxy ■+- ex- + ey^ H- C.
«55. — Soit maintenant l'équation plus générale
(5) Mdx + My-i-?dz = 0,
dans laquelle M, N et P sont des fonctions des trois variables Xj y et z. Si le premier membre est la différentielle exacte d'une fonction u des trois variables x, y, z, tout se réduit à trouver cette fonction, car alors l'intégrale demandée sera
î<=const.
Or, si le premier membre de l'équation (5) est une différentielle exacte, l'ensemble des deux premiers termes, ou Mcte -h Ndy, doit aussi être une différentielle exacte quand on y regarde z comme constant. Soit dv cette dilférentielle, et supposons que nous ayons intégré l'équation
DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ET DE LEUR INTEGRATION 510
par la méthode indiquée au numéro précédent, nous auron v=s (x, 1/, z). Or la fonction u ne peut différer de v que par une fonction de z, puisque, en regardant z comme constant, du s'est réduit à dv. On peut donc écrire
u=o{x,y,z)-hf{z).
On en Jécluit
du d? {x, ?/, z) Tz-'~dz "^/ (^^'
Cette valeur doit coïncider avec P ; on doit donc avoir
p rf . ? ix, 1/, z)
d»oj
^ ' dz '
et, en intégrant par rapport à z,
r(.)=/[r-'ii(^]</..
Dès lors l'intégrale cherchée sera
9 (ic, î/, z) 4- /'(z) ^ const.
Prenons pour exemple l'équation différentielle
{ayz -\-hz-h hj) dx -h {axz -{- cz -\- kx) d\j H- [axij -\-hx-\- en -h ^ez) d^ = 0.
Or on aura ici
dv = {ayz -\-bz-\- ky) dx -h {axz -^-cz-h kx) dy
et si l'on intègre cette équation en regardant z comme con-
tant, la méthode du n° 254 donnera
V = {uz -f- k) xij -+- bzx -h czy -f- const. ; par suite
u = {az -+- k) xij -+- bzx + czy -+- const. + f {z). On en tire ■
£ = axy + bx+cij-^f'{z);
et, en comparant avec le coefficient de clz dans l'équation différentielle proposée, on en déduit
f [z] = 2ez, d'où f [z) = cz^ -t- C.
Par conséquent, l'équation intégrale cherchée est
axyz -+- bxz -t- cyz -+- kxy -f- ^2* = constante.
Nous renverrons aux traités plus étendus pour le cas où l'équation différentielle proposée ne satisfait pas à la condition d'intégralité.
