DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES

256. — L'intégration des équations aux différences partielles forme un sujet très-étendu que nous n'avons pas l'intention de développer ici. Nous nous bornerons à traiter des équations aux différences partielles du premier ordre et à donner comme exemjde du second ordre les équations diflérentielles les plus simples que l'on rencontre dans les qurs lions de Géométrie ou de Physique mathématique.

Considérons d'abord l'équation différentielle

flx dy '

dans la(juelle X, Y, Z représentent des ibnc'.ions quelconques des trois variables x^ y, z.

Soit

l'intégrale de celte équation différentielle.

En la différcntiant, soit par rapport à a;, soit par rapport à y, on obtient les deux relations

di^df iU^^ et '^W^.'^^ = 0 dx dz- dx ' dy dz dy

Si l'on en tire les valeurs de -r^ et de ~ pour les substituer

dx dy '

dans l'équation (I), et qu'on chasse le dénominateur introduit, on pourra la mettre sous la forme

^ ' dx dy dz

et si l'on pouvait tirer de celle-ci la valeur de f en x, y et z, le problème serait résolu.

Pour y parvenir, on considère les équations

^- dx dy dz

qui forment un système de deux équations différentielles simultanées et du premier ordre. Concevons qu'on les ait intégrées, et soient

U (^' y» -) = Cl et /, ix, 7/, r = c,

les intégrales obtenues. On en déduit par la différentiation

dx dy '' dz

dx dy "^ dz

ou, en ayant égard aux relations (5),

' dx dy dz dx dy dz

Ces dernières expriment que les fonctions f^ et [^ satisfont toutes deux à l'équalion (2) et sont par conséquent des intégrales particulières de l'équation (1).

Or, on peut démontrer qu'une fonction arbitraire de f^ et de /"j satisfait également à l'équation ( 1 ). En effet, désignons par ç celte fonction arbitraire. Multipliant la première des

' • / / d G ] 1 UD

équations (4) par 77- , et la seconde par -y^ , puis ajoutons-les terme à terme, il viendra

\rt/j dz d{^ dz J

ou, ce qui revient au même, puisque ç est une fonction de f^ et de /, (27,25),

dx dy dz

c'est-à-dire que la fonction ©satisfaite l'équation (2) et que, par conséquent, l'intégrale générale de l'équation (1) est

?(fn/.)=0.

On la met souvent sous la forme

DES ÉQUATIONS DIFFÉP.EMIELLES ET DE LEUR INTflGRATION 323

6 représentant également une fonction arbitraire. Il est clair, en effet, que ces deux formes sont é(juivalen!es.

25Ç. — I. Prenons, pour premier exemple, l'équation aux différences partielles

dz dz dz dz ^

-r ^= a -r ou -. a -j- =0.

dx dij dx dij

On a ici

Par conséquent les équations (3; deviennent

dx + ^^ = 0 et dz = 0,

qui ont pour intégrales

y + ax = C^ et x^Cg.

Par suite, l'intégrale générale de l'équation proposée est

z = à{ij -{- ax) ; on a, on effet,

— = f/ -y (y + ax) et ^ = <]> (y -H ax) ,

valeurs qui satisfont à l'équation proposée. II. Soit, pour second exemple, l'équation

, (IZ ^ ClZ j~,

dx dij dans laquelle A, B, C sont des constantes données. On a ici

Les équations (3) deviennent

dx dij dx dz

elles ont pour intégrales

Ay -'-Ba; = coiist. et Az — Ca;=const.

Par conséquent, l'intégrale générale de l'équation proposée est

Az — Cic = (]; (Ay — Bx) ,

i^ désignant une fonction arbitraire.