ff

a désignant le premier terme el q la raison.

Une série est dite divergente lorsque la somme de ses termes croit au delà de toute limite ou lorsqu'elle ne tend pas vers

une limite déterminée. Ainsi la suite naturelle des nombres forme une série divergente. Il en est de même, pour x = r., delà série

'] + cosic -+- cos2x + cosôa:-f- ...,

car elle devient, pour celle valeur particulière de iC,

série dont la somme tend vers + 1 ou \ ers zéro ^ selon que l'on prend un nombre de termes impair ou pair.

Nous considcicrons d'abord les séries dont tous les termes sont positifs.

a. — Pour qu'une série soit convergente, il faut avant tout que ses termes aillent en décroissant indérmiment, au moins à j;arlir d'un certain rang. Car si les termes restaient constamment supérieurs à une quantité fixe c, d'ailleurs aussi petite qu'on le voudra, la somme des n premiers termes serait sui)ciicure à no, quanlilé que l'on peut rendre aussi grande que l'on voudra en prenant ?i suffisamment grand ; la série ne serait donc pas convergcnle.

Mais cette condition de convergence, toujours nécessaire, n'est pas suffisante. Il suffit de le montrer sur un exemple. On choisit ordinairem.ent pour cela la série

qui porte le nom de série liarmonique. Elle remplit la condi-

lion dont il s'agit, puisque le terme général - peut cire rendu

aussi petit que l'on voudra. Cependant elle est divergente, car on peut récrire

APPI'NDICE. 3i5

La première parcnlhcse a une valeur plus grande que

2 foM y ou ^ ; la deuxième parenthèse a une valeur plus

grande que 4 fois-ou^; la troisième a une valeur plus grande

que 8 fois 777 ou pr : et ainsi de suite. 1 u J

La somme des termes de la série se compose donc d'une

suite de quantités toutes plus grandes que ^, sauf le premier

terme; celte somme peut donc devenir aussi grande que l'on voudra en prenant un nombre suffisant de termes. Donc la série harmonique est divergente.

3. — On a donné divers caractères pour reconnaître la convergence des séries ; le plus utile dans l.i pratique est le suivant:

Une série est convergente si le rapport (Vun terme à celui qui le précède est constamment moindre qu'une quantité fixe k plus petite elle-même que funité. Soient, eu effet, w^, î/j, Mj, ' î/., .,., »„, etc., les différents termes de la série. On pourra écrire :

î'o=Woi

u. < ku^ < P ï/q,

et, en ajoutant membre à membre, et désignant par S^ la somme des termes depuis u^ jusqu'à m„,

^n<iio{^+k + k'-hk^-h...-{-k").

ou, puisque A; est moindre que 1,

s«<»o.-iTrF-

Or, à mesure que ïi augmente, le second membre s'ap-

pioche de plus en plus de it^. r. Donc la série est conver

gentc.

Il est facile, à l'aide d'un raisonnement analogue, d évaluer une limite supérieure de l'erreur commise en s'arrctant au terme m„. En elTet, le reste R, ou l'ensemble des termes qui suivent îf„, peut s'écrire :

R = u„^i + M„+j H- M„+5 4- . . . , ef, comme on a

Wn+2 <C fc''H+i < k^ t'n »

et ainsi de suite, on peut écrire :

ou

4. — On applique ordinairement ces règles à la série , 1 1 i 1

Le rapport du dernier terme écrit à celui qui le précède

est-, quantité moindre que l'unilé; et le rapport de deux

AI PENDICE. 5-i5

termes consécutifs va sans cesse en diminuant à mesure qu'on

avance dans la série ; donc, en vertu du piincipc ci-dessus

ilémonlré, cette série est convergente. On désigne sa valeur

par la lettre e ; c'est la base dos logarithmes népériens.

Si l'on applique à celte série la règle ci-dessus relative à

l'erreur commise , on voit qu'en s'arrèlant au terme

on commet une erreur moindre que

ou

On reconnaît ainsi que les 12 premiers termes donnent le nombre e à moins d'une unité du neuvième ordre décimal. On trouve :

Ce nombre, qui joue un rôle important dans Tanalyse, est une f[uantité incommensurable. Car si sa valeur pouvait être

représentée par une fraction commensurable — et qu'on eût m . 1 1 1 1

ou aurait, en multipliant les deux membres par le produit 1.2.3...??,