CHAPITRE III

J'25B%6i ^' C'est une illusion de croire que les dispositions naturelles

pour les mathématiques soient plus rares que pour les autres études, et cette erreur provient de ce qu'on les fait commencer trop tard ou qu'on les néglige . Mais que les mathématiciens soient rarement disposés à s'occuper des enfants comme il conviendrait, c'est un fait très naturel. Le calcul a fait négliger les éléments des combinaisons et de la géométrie, et on a essayé alors de démontrer que Vimagination mathématique n'était pas éveillée.

Le premier point essentiel, c'est d'observer les quantités et leurs variations, là où elles se présentent : par conséquent, de compter, de mesurer, de peser, chaque fois qu'on peut le faire, et quand on ne le peut pas, d'estimer tout au moins les quantités, même sans précision pour commencer, et d'acquérir les notions de quantité absolue, de grandeur et de distance.

On observera en particulier d'une part le nombre de permutations, de variations et de combinaisons possibles, d'autre part les rapports de superficie et de volume, lorsque des surfaces et des corps semblables dépendent de lignes analogues.

Remarque. — Il y aurait bien des choses à dire sur tout ce qui contribue à rendre le début de l'enseignement des mathématiques difficile sans nécessité : mais ce n'est pas ici le lieu. Nous ferons seulement remarquer brièvement que ces difficultés tiennent à trois causes : i® à la langue ; a" à la façon dont le professeur conçoit ordinairement les notions arithmétiques ; 3" à la confusion d'exigences toutes différentes.

i** Ainsi la langue est déjà un obstacle dans le calcul élémentaire des fractions. On lit par exemple : î2/3, deux tiers, et par conséquent : 2/3 X 4/^^ deux tiers de fois quatre cinquièmes, au lieu de dire : multiplication par 2 et par 4» et division par 3 et par 5. On ne réfléchit pas que le tiers d'un entier n'implique pas l'idée de cet entier, qui ne peut être un multiplicateur, mais seulement un multiplicande. Tout cela embrouille les enfants. Il en est de même pour le terme mystérieux : racine carrée, qu'on emploie au lieu de : demi-multiplication. C'est encore pis lorsqu'il est plus tard question des racines des équations.

2® On pourrait faire encore plus d'objections contre la fausse conception des nombres qui consiste à les considérer comme des sommes d'unités : or, ce ne sont . pas plus des sommes d'unités que les sommes ne sont des produits. Le terme deux ne signifie pas qu'il 7 a deux objets, mais un objet doublé, peu importe que cet objet doublé soit simple ou multiple. La notion d'une douzaine de chaises n'implique pas douze représentations d'une chaise, mais elle ne renferme que deux idées : l'idée générale de chaise, et l'idée indivisible de multiplication par douze. De même, la notion de cent hommes ne contient que deux idées : l'idée générale d'homme et celle du nombre indivisible cent. Et ainsi de suite pour six pieds, sept livres, etc.; dans ces expressions, la langue allemande offre l'avantage de laisser le nom au singulier *. La conception des nombres n'est pas mûre, tant qu'ils sont confondus avec les quantités, et qu'elle est subordonnée à la supputation successive des chiffres.

3° Dans les exemples d'arithmétique, on confond la difficulté inhérente à la conception de l'objet avec le calcul même. Le capital, Yintérêt, et le temps, — la rapidité, le chemin et le

I. On sait qu'en allemand la plupart des noms de mesures sont invariables.

3ati MATUÉMATIQITKS ET SCIRNCliS NATUMBLLKS

temps, etc.. sont des objets déjà familiers aux élèves, el qui doivent par conséquent avoir été expliqués longtemps avant qu'on puisse s'en servir pour les exei-cices de calcul. Lorsqu'un élève a encore quelque peine à saisir les conceptions aritlmiéti({ues, on devrait lui donner des exemples qui lui fussent assez familiers poui- qu'il pfit en tirer de nouveau l'idée arithmétique, et n'eût pas besoin de l'y appliquer.

3. La mesure des lignes, des angles et des .secteurs (à laquelle l'enfant peut être amené par nmints jeux de con.struction) conduit aux exercices infaitifs, soit de géotnétrie plane, soit de géométrie sphérique. Une fois que ces exercices seront devenus courants, on devra les i-épéter souvent, sinon ils sei-ont oubliés, comme tout autre genn' irexercices. N'importe quel plan, quelle carte géographique ou céleste peut donner lieu à des applications.

Les exercices intuitifs seront organisés de telle manière que l'élève, après avoir terminé la géométrie plane, soit tout préparé à la trigonométrie : on suppose que Varithmétiqae a été traitée parallèlement à lu géométrie plane, ifn^iya'aax équations du «fécond degi-é.

Remarque. — L'essentiel est d'exercer l'o-il à mesui-er les distances et les angles, et de combiner cet exercice avec des calculs tout'ii-fait élémentaires. Le but de ce genre d'exercices n'est pas seulement d'aiguiser le sens de l'observation appliquée aux objets matériels, mais sui'tuut d'éveiller l'imagination géométrique, et d'y unir la i-éflexion arithmétique. C'est en cela que consiste en effet la préparation aux mathématiques, si négligée et pourtant si nécessaire. Pour y arriver, on se servira d'objets matériels. On eu a essayé de difTéi-entes sortes, puis on les a i-emis de cflté. Les plus commodes pour commencer sont les triangles en bois, faits de tiges minces et solides. Il sulfit d'en avoir ij paires, tous rectangles et ayant un côté commun d'égale longueur. Pour faire ces triangles, on dessinera un cercle ayant quatre pouces de rayon.

et on tracera les tangentes et les sécantes de ce cercle à 5®, io<^, i5o, hqo et ainsi de suite jusquà 85°. On conçoit aisément toutes les combinaisons auxquelles ces lignes peuvent donner lieu. Les tangentes et les sécantes devront être mesurées empiriquement par les élèves , et les nombres correspondants, à partir de 4^*^ — seulement en chifïres entiers et en dixièmes pour commencer, — seront notés et appris par cœur après quelques répétitions. On peut tirer de là des calculs extrêmement faciles, dont le premier but est d'éveiller chez les élèves une attention durable pour des objets aiissi simples. Les exercices intuitifs de géométrie sphérique demandent un appareil plus compliqué : on prendra les trois plus grands cercles mobiles d'une sphère. On ferait bien de se servir d'un semblable appareil dans renseignement de la trigonométrie sphérique. D'ailleurs il va de soi que ces exercices intuitifs ne doivent pas remplacer renseignement de la géométrie^ ni même de la trigonométrie ^ mais qu'ils n'ont d'autre but que de préparer le champ à ces sciences. Lorsqu'on aborde la géométrie des surfaces, on laisse de côté les triangles de bois, et la représentation sensible fait place à la construction géométrique. En même temps, l'arithmétique commence à s'élever au-dessus des simples notions de proportions, pour passer aux puissances, aux racines et aux logarithmes. Car, pourrait-on comprendre seulement le théorème de Pythagore sans avoir la notion de la racine carrée?

3. Mais ici il faut s'arrêter à un point capital qui présente une certaine difficulté : je veux parler des logarithmes. Il est assez facile d'en exj)liquer l'usage, et même d'en expliquer la théorie, dans la mesure où elle est utile précisément pour les applications (théories des séries arithmétiques correspondant aux séries géométi'iques, et dans lesquelles toutefois il faut considérer les nombres naturels connue une série géométrique). Mais, considérés au point de \ue scientifique, les logarithmes

3al5 MATUÉMATlQlJliS KT SCIKNCKS Si

temps, etc., sont des objets dt-jà rniiiiliers aux élèves, et qui doivent par conséquent avoir été expliqués longtemps avant qu'on puisse s'en servir pour les exercices de calcul. Lot-squ'un élève a encore quelque peine à saisir les conceptions anthniétiques. on devrait lui donner des exemples qui lui fussent assez familiers pour qu'il pût en tirer de nouveau l'idée arithmétique, et n'eftl pas besoin de l'y appliquer,

3. La mesure des lignes, des anf^les et des secteurs (à laquelle l'enfant peut être aiuené par maints jeux de construction) conduit aux exercices intailifs. soit de géométrie plane, soit de géométrie aphérique. Une fois que ces exercices seront devenus courants, on devra les répéter souvent, sinon ils seront oubliés, comme tout autre geni-e d'exercices. N'importe quel plan, quelle enrtc géogi-apbiquc ou céleste peut donner lieu à des applications.

Les exercices intuitifs seront organisés de telle manière que l'élève, api-és avoir terminé la géométrie plane, soit tout préparé à la trigonométrie : on suppose (jue Y arithmétique a été ti-aitée parallèlement à la géométrie plane, jusqu'aux équations du second degi-é.

Remarque. — L'essentiel est d'exercer l'œil à mcsui-er les distances et les angles, et de combiner cet exercice avec des calculs toul-ù-fait élémentaires. Le but de ce genre d'exercices n'est [MIS seulement d'aiguiser le sens de l'observation appliquée aux objets matériels, mais surtout d'éveiller l'imagination géométrique, et d'y unir la i-tdcxion arithmétique. C'est en cela que consiste en effet la préparation aux mathématiques, si négligée et pourtant si nécessaire, l'our y arriver, on se servira d'objets matériels. On en a essaye de différentes sortes, puis on les a remis de cAté. Les plus commodes pour connnencer sont les triangles en bois, faits de tiges minces et solides. Il sullit d'en avoir 17 paires, tous rectangles et ayiint un côté commun d'égale I<)ngueur- Pour faire ces triangles, on dessinera un cercle ayant quatre pouces de rayon.

et on tracera les tangentes et les sécantes de ce cercle à 5®, iqo, i5<>, 2oo et ainsi de suite jusqu'à 85°. On conçoit aisément toutes les combinaisons auxquelles ces lignes peuvent donner lieu. Les tangentes et les sécantes devront être mesurées empiriquement par les élèves , et les nombres correspondants, à partir de 4^*, — seulement en chiiïres entiers et en dixièmes pour commencer, — seront notés et appris par cœur après quelques répétitions. On peut tirer de là des calculs extrêmement faciles, dont le premier but est d'éveiller chez les élèves une attention durable pour des objets aussi simples. Les exercices intuitifs de géométrie sphérique demandent un appareil plus compliqué : on prendra les trois plus grands cercles mobiles d'une sphère. On ferait bien de se servir d'un semblable appareil dans renseignement de la trigonométrie sphérique. D'ailleurs il va de soi que ces exercices intuitifs ne doivent pas remplacer l'enseignement de la géométrie^ ni même de la trigonométrie^ mais qu'ils n'ont d'autre but que de préparer le champ à ces sciences. Lorsqu'on aborde la géométrie des surfaces, on laisse de côté les triangles de bois, et la représentation sensible fait place à la construction géométrique. En même temps, l'arithmétique conmience à s'élever au-dessus des simples notions de proportions, pour passer aux puissances, aux racines et aux logarithmes. Car, pourrait-on comprendre seulement le théorème de Pythagore sans avoir la notion de la racine carrée?

3. Mais ici il faut s'arrêter à un point capital qui présente une certaine difficulté : je veux parler des logarithmes. Il est assez facile d'en expliquer l'usage, et même d'en expliquer la théorie, dans la mesure où elle est utile précisément pour les apjilications (théories des séries arithmétiques correspondant aux séries géométi'iques, et dans lesquelles toutefois il faut considérer les nombres naturels comme une série géométrique). Mais, considérés au point de vue scientifique, les logarithmes

'i^H MATHÉMATIQUES 1^

se rattaclieiil aux exposants fractionnaires et négatifs, et aui^si à la formule du hinûine, laquelle n'est à irai dire qu'une fonuule facile de combinaison pour les exposants entici-s négatifs, et n'est précisément nulle part moins utile que sous ce rapport.

La trigonométrie est sans doute, en ce qui concerne ses pi-incipaux théorèmes, indépendante des logarithmes, mais dans l'application elle ne peut gu^re s'en passer : aussi peut-on se demander s'il est indispensable d'initier d'abot-d les commençants d'une manière scientifiquement rigoureuse et complète à la théorie des logarithmes, et d'attendre, pour commencer l'enseignement d'ailleurs si fécond de la trigonométrie, d'avoir mené cette tâche à bonne fin, — ou bien si l'on doit permettre aux élèves l'usage pratique des logarithmes avant qu'ils en aient pénétré exactement les principes fondamentaux.

Remarque. — Lu difiiculté que présentent les logarithmes, — et qui est in contestable ment une des dilficultés les plus sensibles de l'enseignement des mathématiques. — n'est pourtant qu'une preuve des conséquences regrettables que peuvent avoir les négligences commises aux débuts. Si on ne négligeait pas de développer l'imagination mathématique, on ne manquerait pas d'occasions d'inculquer bien plus profondément, non seulement la notion de proportion, comme l'exige d'ailleurs l'arithmétique la plus élémentaire, mais d'éveiller de bonne heure la notion des fonctions. Déjà, les exercices intuitifs mentionnés plus Iiaut ont montré à l'élève les tangentes et les sécantes comme des lignes dépendant d'un angle. Une fois que CCS exercices sont devenus aussi familiers qu'on est en droit de l'attendre au bout de six mois d'enseignement, on pourra montrer le sinus et le cosinus. Mais il ne faut pas s'en tenir là. Un peu plus tard, vers l'époque ou l'on abordera la mesure des surfaces, on insistera sur les carres et les cubes des nombres naturels et on les fera bientôt apprendre par cœur. On rattachera à ces notions l'étude des dill'érences entre

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ces carrés et ces cubes, et de la somme de ces différences, pour en déduire les quantités primitives, c'est-à-dire les racines, et on traitera ensuite de la même manière les carrés et les cubes faciles. Pour cela on se servira de petits cylindres de bois, tels que des pions de damier, et on en construira toutes sortes de figures : les élèves devront dire quelle quantité de ces cylindres il faut leur donner pour obtenir ces figures ou d'autres. Puis on montrera comment les carrés et les cubes croissent lorsque la racine croit, et on s'appuiera sur cette démonstration pour préparer les premiers éléments du calcul différeniieL On passera alors à l'examen des racines, qui sont de plus en plus rapprochées à mesure qu'on avance régulièrement dans la série des nombres. Enfin on arrivera à la notion de Yinsertion des logarithmes, après avoir parcouru plusieurs fois dans les deux sens les logarithmes de i, lo, loo, looo, etc., ainsi que ceux de i/io, i/ioo, etc.

4. Dans les établissements où Ton a surtout en vue un but pratique, on pourra expliquer les logarithmes par la comparaison des séries arithmétiques avec les séries géométriques, et passer rapidement aux applications. Mais, lors même qu'on s'appuierait sur le théorème de Taylor et sur celui du binôme, il n'y aurait guère plus de profit à procéder ainsi pour maint conmiençant : non pas que ces théorèmes, ainsi que les éléments du calcul différentiel, ne puissent être démontrés clairement, mais la seule chose à redouter, c'est que maintes notions acquises ne soient pas retenues. Le commençant se souvient encore, lorsqu'on en arrive aux applications, qu'on lui a fait cette démonstration, et qu'il Ta saisie ; et même, en l'y aidant un peu, il serait peut-être en état de retrouver point par point la niarche de la démonstration. Mais il lui manque la vue d'ensemble ; et dans la pratique, il se soucie fort peu de la façon dont les logarithmes ont été calculés.

Ce qui vient d'être dit à propos des logarithmes peut s'ap-

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pliqucr encore à d'autres choses. La valeur des démonstrations rigoureuses n'est reconnue complètement que loi-squ'on se meut fannlièrement diins la sphère des notions auxquelles elles se rattachent.

5. Les démonstrations qui prennent sans nécessité un chemin détourné, en s'appiiyaiit sui' des notions accessoii'es étrangères, sont un mal très grave pour l'enseignement, si élégante que soit la façon dont on les présente En revanche, on devra préféi-er les démonstrations qui s'appuient sur les simples notions élémcntaii-es. car en pai-eil cas la conviction n'est pas suboi'donnée à la fAeheuse nécessité de se demander si l'on doit revoir toute une longue série de propositions préliminaires. Ainsi le théorème de Taylor peut se déduire de la formule d'insertion, mais celle-ci k son tour de l'étudt' des différences, pour laquelle il suffit de savoir additionner et soustraire, et de connaître les nombres pour les permutations.

6. La valeur pédagogique de tout l'enseignement mathématique dépend surtout de la profondeur à laquelle il pénètre dans la masse totale des idées et des connaissances acquises. Ceci nous amène tout d'ahord à celte conclusion : qu'il faut provoquer l'activité personnelle des élèves, et non se borner à un simple exposé didactique. Les occupations mathématiques sont nécessaires. Il importe de faire seiltir tout ce qu'on peut obtenir par les mathématiques. Il faudra de temps en t«mps faire faire des rédactions mathématiques ; seulement ces devoirs devront être asses faciles, et il ne faut pas imposer à l'élève plus de travail qu'il n'en peut faire à son aise. Il y en a beaucoup qui se sentent déjà attirés par les mathématiques pares, surtout lorstjue la géométrie et le calcul sont convenablement associés. Mais il faut plutôt compter sur l'action des maibématiqaes appliquées, pourvu que l'objet de l'application ait déjà éveillé par lui-même l'intérêt, ce qui s'obtient par d'autres moyens.

MATHÉMATIQUES ET SCIENCES NATUHELLES 33l

Les exercices mathématiques ne doivent pourtant pas retenir trop longtemps Tél^ve dans un cercle étroit ; il faut au contraire que l'exposition didactique marche en môme temps. S'il s'agissait uniquement de stimuler l'activité personnelle de l'élève, les principes élémentaires seraient bien suflisants pour en tirer une quantité infinie de problèmes qui fourniraient à Télève l'occasion de se réjouir de son habileté croissante, et môme d'éprouver du plaisir aux petites découvertes qu'il fait luimême, sans avoir poui* cela la moindre idée de la grandeur de la science. On peut comparer beaucoup de problèmes aux jeux d'esprit, qui sont bienvenus à leur place, mais qui ne doivent pas usurper le temps du vrai travail. Quant aux choses qui, au fur et à mesure des progrès, se comprennent d'elles-mêmes, on ne devrait pas s'y arrêter pour ne faire que de simples tours d'adresse. De simples exemples praticpies sont incomparablement moins importants que les notions de sciences naturelles, qui aplanissent d'autant mieux le chemin aux mathématiques quelles sont liées à des connaissances techniques.

7. Des enfants tout jeunes peuvent déjà s'occuper de zoologie avec des livres d'images, puis de botanique en analysant des plantes qu'ils ont collectionnées. S'ils y ont été habitués de bonne heure, ils avanceront facilement d'eux-mômes, en les guidant un peu. Plus tard on leur apprendra à observer les caractères extérieurs des minéraux. (La zoologie ne pourra être continuée aussi sûrement à cause des questions de sexe).

8. Ces exercices devront se lier à une observation très attentive de la nature extérieure, de tout ce qui varie avec les saisons, et des raj)j)orts entre les hommes. Cela nécessite d'une part : l'observation des corps et des phénomènes célestes, — lever du soleil et de la lune, phases de la lune, place de l'étoile polaire, orbites des étoiles les plus brillantes et des constellations les plus apparentes ; — et d'autre part : les connaissances technologiques qui peuvent s'acquérir soit par l'observation person-

! it

H nelle, soit par les leçons de sciences naturelles. On ne devra pas

i] considérer les études technologiques uniquement au point de

vue des intérâits dits matériels : car elles fournissent des termes intermédiaires très importants entre les conceptions de la nature et celles des fins humaines. — Tout enfant qui grandit, tout adolescent devrait apprendre à manier les outils courants des meuuisiers, ainsi que la règle et le compas. Souvent mainte habileté mécanique serait plus utile que des exercices gymnastiques : car celle-là sert à Fesprit et ceux-ci au corps. Aux écoles primaires supériem^es se rattachent les écoles de travail manuel, qui n'ont pas besoin d'être précisément des écoles industrielles. Enfin, tout homme devrait apprendre à se servir de ses mains : car la main a sa place d'honneur à côté de la langue, pour élever l'homme au-dessus des animaux.

Les connaissances dont il vient d'être question rentrent dans l'enseignement de la géographie, dont il sera question plus loin.

9. L'observation des corps célestes est la base de Vastronomie populaire, et celle-ci peut servir à montrer si Vimagination mathématique est suffisamment éveillée chez l'enfant.

10. Les premiers éléments de statique et de mécanique seront déjà considérés comme introduction à la ph^'sique, qui ellemême doit être associée aux parties les plus faciles de la chimie. La physique doit être annoncée de loin, bien longtemps avant de faire l'objet d'un exposé didactique, par maints objets capables d'exciter l'attention. (Ainsi on montrera aux enfants des mouvements d'horloge, des moulins, les phénomènes les plus connus de la pression atmosphérique, des jouets électriques et magnétiques, etc.) Dans les écoles primaires supérieures, on devra parler des constructions et des machines au moins autant qu'il est nécessaire pour que l'élève cherche plus tard à s'instruire davantage. Il en sera de même pour les notions fondamentales de la physiologie.

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II. Ainsi, chaque fois qu'une nouvelle matière doit être enseignée, il est très important de choisir quelques points principaux pour les faire apprendre rigoureusement par cœur. De plus, les élèves devront s'exercer à des descriptions exactes. Chaque fois que ce sera possible, ces descriptions seront rectifiées par la présentation des objets réels.

Il faut sévèrement réprouver Texamen trop rapide des objets présentés aux regards, chaque fois que Ton montre quelque chose ; sinon les collections et les expériences ne servent à rien. On ne doit pas non plus abuser de ces présentations, et souvent il faut dire à l'avance sur quel objet l'élève va avoir à porter son attention. Il pourra souvent être profitable de commencer par de bonnes descriptions, de montrer ensuite des gravures, et enfin les objets eux-mêmes.