Voici des exemples de la multiplication des monômes

3a'6^X7a^M=2Ia^i^

Sa'b^c x-^4a^'d' = —!ioa'b'cd\

—I a'b^c X 3a6c^ = — | a^6V, — |aP*^X — f a"i" = }? a^^b'^+\

n. Multiplication des polynômes.

44. Lorsque les deux quantités à multiplier sont composées chacune de plusieurs termes, la règle énoncée se modifie de la manière suivante : on écrit le multiplicateur aurdessous du multiplicande et l'on souligne le tout. On multiplie successivement tous les termes du premier polynôme par chacun des termes du second et on écrit les produits partiels que l'on obtient les uns sous les autres. Enfin on les ajoute en faiiant en même temps la réduction des termes semblables, afin d'obtenir le produit total.

1®' exemple de multiplication.

Saô'+aiV-f- 3(î' multiplicande.

4a(?*-j"5ft* multiplicateur.

i2a*6V4-8a6V-f-i2ac'^ i *' produit partiel.

i5a6^+ loiV 4- i5iV 2® produit partiel.

-|-ioAV + i56V ) ^

D*ALGÈBR£. i^

2® Exemple de multiplication.

2a* — 3a'6 + û*'— 2*^ multiplicande.

— 5a'6 + 2ai'— 6^ mu ltiplicateur,

+4a^6'— 6a*6^ + 2a^b^ — ^ab^ [ produits partiels.

— ^a'^P+ 3a^64 ai6^2j7 )

~ ioa% + iqa'b*—8a^b' — ^a'b^ ) + i2a^6^-5a6« + 2è^ j produit total.

DÉMONSTRATION. D'abord, si tous les termes des deux facteurs sont positifs, comme dans le i®^ exemple, on pourra raisonner ainsi : multiplier 3ai' + ^*^^* + ^^^ P^r ^ac^+ 5é% c'est prendre 3a6'+ 2b^c* + 3c^ autant de fois qu'il y a d'unités dans ^ac^, plus autant de fois qu'il y en a dans 56', donc

(3a6'+26V+3c^) (4ac'+5i«) = (3a6*+2i^c*+ 3c^) 4a(?» + [Ub'+^b'c* + 3c') 56»; . actuellement, pour faire le produit de 3aA* + 2*^^*+3c' par 4acS ou celui de 3a6'4- 26^(?*+ 3(?' par 56', il faut évidemment ajouter les trois produits que Ton obtient en multipliant 3a6*, 26'(?*, 3c' par ^ac^ ou 56», donc

i3a6' X 4ac' + 26'c' X 4ac^ 4- 3c' X 4^^' 3a6" X 56' + 26^0' X 56' + 3c' X 56'

ce qui démontre la règle de la multiplication pour des polynômes composés de termes positifs.

Supposons maintenant que les deux polynômes se composent en partie de termes additifs et en partie de termes soustractifs, auquel cas (n** 36) ils sont de la forme M — N, P — Q; M et N désignant les sommes des termes positifs et négatifs du premier, et P et Q les sommes des termes analogues du second. Il est clair d'abord que le produit (M — N) (P — Q) est égal à M — N pris P fois diminué de M — N pris Q fois; et qu'en conséquence {M — N) (P — Q) = (M— N) P(M— N)Q. Afin d'obtenir le produit

i 8 PRINCIPES

(M — N)P, remarquons que si le multiplicande était M, le produit serait MP; mais comme ce multiplicande est M — N, Je. produit est trop grand de N XP ou NP; donc (M— N) P=MP— NP. On démontrerait par le même raisonnement que (M — N) Q==MQ — NQ. Substituant ces valeurs dans le produit cherché , il vient (M— N) (P— Q)=MP — NP— (MQ — NQ), ou en faisant la soustraction (M— N) (P — Q) =MP — NP — MQ + NQ. On voit ainsi que Ton est ramené à opérer sur des polynômes M, N, P, Q, dont tous les termes sont positifs, en affectant toutefois les produits obtenus, des signes convenables ; ce qui est en tout conforme à la règle énoncée au commencement de ce numéro.

III. Le produit de plusieurs polynômes homogènes est aussi homogène et d'un degré égal à la somme des degrés des facteurs.

45. En vertu de la règle des exposants (n^ 41), le degré du pro(j[uit de deux monômes est égal à la somme de leurs degrés particuliers ; et comme un terme quelconque du produit de deux polynômes homogènes de degré m et n résulte de la multiplication d'un terme du premier par un terme du second, il s'ensuit que le produit est encore homogène et du degré m-f-w; on prouverait de la même manière qu'en multipliant ce produit homogène par un troisième polynôme homogène du degré p, on doit obtenir un polynôme homogène du degré m + w+J». En continuant ainsi, on étendrait cette démonstration au produit d'un nombre quelconque de facteurs homogènes.

IV. Sur le produit de la somme de deux quantités par leur différence.

46. Le produit de la somme de deux quantités par leur différence, égale la différence des carrés de ces quantités ; et réciproquement, la différence des carrés de deux quantités égale la somme de ces deux quantités multipliée par leur différence.

Désignons par A et B deux quantités quelconques, monômes ou

d'algèbre. 4d

polynômes, entières ou fractionnaires; et multiplions leur somme A 4" B par leur différence A — B.

A'-I-AB — AB--B'

CD a donc (A + B) (A— B) = A' — B\ Voici des exemples :

(lo -f" 7) (10 — 7) = 10' — 7*= 100 — 49 = 5i. et en effet :

{10 + 7) (lo — 7) = 17x3=51.

(5a+66) (5a— 6i) = (5a)*— (6ir = 25a^— 366\

(— 3a*+ 26V) (— 3a'— 26'c) = {— 3aT— (26"c)'=9a^— 46^c\

Réciproquement A' — B* ^ (A + B) (A—B) ; car cette égalité

n'est autre chose que la précédente dont on a changé les membres.

Exemples :

a 6=(Va-UV/i) (v/a — V/i).

(a-f.6)'— (a— ft)=(a-f6+a— 6) {ai-b-a+b)=^aX^b^4ab.