V. Ce que c'est qu'ordonner

47. Ordonner une quantité par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes d'une lettre, c'est disposer les termes de manière que les exposants de cette lettre aillent en augmentant ou en diminuant de gauche à droite. La lettre par rapport à la**' quelle on ordonne se nomme lettre principale. Ainsi le polynôme ja'b—ab—ia^b'-i-b'—Sa' devient fc'— aô+7a'A— 5a'— 4a^ft^ ou — ^a^b^ — 5a^+7a'ft — ab-\-b\ suivant qu'il est ordonné par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de la lettre principale a.

20 PBINCIPES

Celte mantère de disposer les termes d'une quantité a été tirée de rarithmétique où tous les nombres peuvent être considérés comme des polynômes numériques ordonnés selon les puissances décroissantes de lo. C'est ainsi que

26983 = 2.10000 -f 5.1000 -[-9.100 -f- 8.IO-J-3, ou 26983 = 2.io'''4-5.io^ +9.10^ + 8.10+3, en observant que 10''= 10000, io^= 1000, etc.

4-8. Si, parmi les termes du polynôme à ordonner, plusieurs sont affectés d'une même puissance de la lettre principale, on n'écrit cette puissance qu'une seule fois, en lui donnant pour coefficient une parenthèse qui renferme toutes Us quantités qui la multiplient j et Von ordonne ensuite les poly-nomes placés entre parenthèses par rapport à une seconde lettre.

Soit, pour fixer les idées, à ordonner le polynôme 6a3i i»5ac 3a'6^+i6a'6— 2a6c+63+2a^i^— 4a^6\ par rapport aux puissances décroissantes de la lettre a; on remarquera que,

3^ — 6ac — 2a6c = ( — 6c — 260)0, ce qui permettra de l'écrire ainsi :

(66+26^—46') a' +(— 3f^^+i56>'+ [—^c—ibc)a-\'b^—b\

ou bien en ordonnant les parenthèses par rapport aux puissances décroissantes de 6,

(263 46^+66)a^+(— 3i^+i6/Oa'+(— 2èc— 5c)a+6^~ô\

Ces transformations résultent évidemment de ce que, pour former le produit d'un polynôme par un naonome, il faut multiplier successivement tous les termes du polynôme par le monôme (n*> 44).

Si dans les parenthèses, il y avait plusieurs termes affectés d'une même puissance de la lettre b , il faudrait ordonner les parenthèses par rapport à une troisième lettre c, et ainsi de suite.

Les polynômes ordonnés par rapport à deux ou plusieurs lettres

d'algèbre. 21

se nomment quantités complexes. On peut encore, comme nous allons le faire voir, abréger récriture de ces sortes d*expressions.

49. Pour simplifier une quantité complexe, on fait précéder chaque parenthèse des facteurs numériques et littéraux cornmwns à tous les termes qui y sont renfermés^ et on les sup^ prime en même temps dans ces différents termes. En simplifiant par ce procédé le polynôme du n** précédent

{2b'-4b''^6b)a'-\'{—W+iSb')a'-\-{—2bc — 5c)a^b'—b\

on trouve

1° {^b^—/ib'~\-6b)a'=[2bxy-^b X ai + 2i X 3) à"

20 (— 36Hi56>=(36^X-é + 36'X5)a=36'(-6+5)a";

4° 6' — 6'=6*x6 — 6'Xi = 6'(6--i);

ce qui le ramène à la forme

50. Enfin on est dans l'usage de faire en sorte que le premier terme de chaque parenthèse soit positif On se sert à cet effet du principe suivant : un produit de deux facteurs n'est pas altéré lorsqu'on change en même temps les signes des deux facteurs. Car d'après la règle des signes exposée dans la multiplication (n^ 42), on a

+ aX + *==ût6, +aX"~6 = — a^ — aX'\'b = — ab, —aX~b = -\'ab; d'où il est facile de conclure

-f-aX + ^ = — aX — ^ 4-aX— 6 = — aX+^.

Ce qu'il fallait démontrer.

En vertu de ce principe, 36' ( — 6 -1- 5) a' = — 36' (6— 5) a\ c{ — 26 ~ 5 ) a = -^ c (26 -(- 5 ) a ; et le polynôme que nous nous sommes proposé d'ordonner devient par ces nouvelles transformations :

51 . De deux polynômes ordonnés suivant les puissances décroissantes d'une même lettre, celui dont le premier terme est

affecté de la plus haute puissance de cette lettre est regardé comme le plus grand. De deux nombres ordonnés, comme nous Tavons dit (n** 47), le plus grand est visiblement celui qui renferme la plus haute puissance de lo. Par analogie on a étendu ce principe aux polynômes algébriques, quoique souvent il se trouve en défaut lorsqu'on substitue des nombres aux lettres. Ainsi, algébriquement parlant, a^ — 3a' — loa + i >a' -\- ya-f- lo; cependant cette inégalité, comme il est facile de s'en convaincre, est fausse lorqu'on suppose a= 3.