On appelle proportion géométrique ou par quotient^ ou

' bien encore, équi-quotient, Tégalité de deux rapports. Soient

a : b=:r et c : d = r, les deux rapports égaux a : b et c : d

constitueront une proportion par quotient, que désormais, pour

abréger, nous nommerons simplement proportion.

42< . Pour écrire une proportion, on sépare ses deux rapports par quatre points que Ton énonce comme ; de manière que a : b :: c : d signifie di est à b comme e e^^ à à, et équivaut à

1 équation — = — .

On emploie, pour désigner les termes d'une proportion, les mêmes expressions que pour nommer ceux d'une équi-différence. (Voyez le n^ 398.)

422. Dans toute proportion^ le produit des extrêmes est égal à celui des moyens. Car la proportion a: b \: c : d peut se mettre sous la forme (421 )

T~l et, en chassant les dénominateurs, on trouve axd^bxc

423. Réciproquement, quatre quantités sont en proportion lorsque le produit des extrêmes est égal à celui des mojens. Soient a, b, c et d quatre quantités liées entre elles par l'égalité

aXd = bX€, Divisons les deux membres par b X d, nous aurons aXd bXc bxd ~ bxd ' et, en supprimant le facteur d commun aux deux termes de la première fraction et le facteur b commun aux deux termes de la seconde,

Ainsi, les quatre nombres 5,4» lo et 8, étant tels que 5 X 8 = 4 X 10, constituent la proportion 5 : 4 - lo : 8 ; mais les quatre nombres 5, 8, 7 et lo ne sont point proportionnels ^ attendu que 5 X 10 est < 8 X 7.

424. De là résulte immédiatement que si Vun des extrêmes est plus grand ou plus petit que Vun des moyens, Vautre extrême sera plus petit ou plus grand que l'autre mojen.

425. On peut, sans troubler une proportion, disposer ses termes de huit manières différentes. Car le produit des extrêmes reste égal à celui des moyens : i^ lorsqu'on intervertit Tordre des extrêmes ; 2'' lorsqu'on intervertit Tordre des moyens ; 3** lorsqu'on met les extrêmes à la place des moyens et réciproquement. Conséquemment, si a et rf sont les extrêmes d'une proportion, i et c ses moyens, on pourra l'écrire des huit manières suivantes :

iT d:c::b:a\ S'' c:d::a:b.

426. Problème. Trois termes d'une proportion étant donnés, déterminer le quatrième. Il peut arriver que le terme inconnu soit un extrême ou un moyen.

1® Si le terme incpnnu est un extrême, on V obtient en divisant le produit des mojens par l'extrême connu. En effet, de la proportion a : b :: c : d, on déduit axd=bxc, d'où

b xc ^ j bXc

a= -—j- et a= .

2° Si le terme inconnu est un mojren, on l'obtient en divisant le produit des extrêmes par le mojen connu. Car de la proportion a:b\:c: d, on tire bXc=aXd, et par suite

, aXd . aXd

^=r= et c = — = — .

427.,Donc si deux proportions ont trois termes communs et disposés, de la même manière, les quatrièmes termes sont égaux,

428. Une proportion continue est celle dont les moyens sont égaux. Telle est a : 6 :: 6 w?.

On peut se dispenser de répéter le terme moyen, pourvu que Ton fasse précéder les trois termes ^ de quatre points, séparés deux à deux par un trait horizontal ; de sorte qu'à la proportion a : b :: b : c, on peut substituer l'expression -H- a : 6 : c, que l'on énonce ^l est à h est à c.

429. Dans une proportion continue, le produit des^extrêmes est égal au carré du terme moyen. Car, de la proportion continue TT a : 6 : c, ou, ce qui revient au même, de a : 6 :: 6 : c, on tire (422).

axc = 6X* ou aXc^=b^,

430. Problème. Deux termes d'ime proportion continue étant donnés, déterminer le troisième. Le terme inconnu peut être Tun des extrêmes ou le moyen.

r Si le terme inconnu est l'un des extrêmes, on le détermine en divisant le carré du moyen par Vextrême connu. En effet, de -H-a : 6 : c on déduit axc = b^, d'où

— — et c = — c a '

2" Si le moyen terme est inconnu, on le détermine en extrayant la racine carrée du produit des extrêmes. Car la proportion continue -rra :b: c fournit b^= axc; d'où l'on tire, en extrayant la racine carrée des deux membres,

431. On appelle 1" quatrième proportionnelle à trois quantités, le quatrième terme d'une proportion dont elles sont les trois premiers termes ; T troisième proportionnelle à deux quantités, le troisième terme d'une proportion continue dont elles sont les deux premiers termes ; 3" moyenne proportionnelle entre deux quantités, le terme moyen d'une proportion continue dont elles sont les extrêmes.

432. De ces définitions et des n*»' 426 et 430 , il suit : 1° que la quatrième proportionnelle à trois quantités est égale au produit de la deuxième par la troisième, divisé par la première ; 2* que la troisième proportionnelle à deux quantités est égale au carré de la deuxième, divisé par la première;

3* que la moyenne proportionnelle entre deux quantités est égale à la racine carrée de leur produit.

Ainsi, la quatrième proportionnelle aux trois nombres 2, 5 et 6 est 5 X 6 : 2 = i5; la troisième proportionnelle aux deux nombres 3 et 6 est 6* : 3 = 12; la moyenne proportionnelle entre les nombres 2 et 18 est 1^2 X 18 = 6.

433. On appelle moyenne proportionnelle entre plusieurs quantités, une quantité telle que le produit des rapports, résultant de sa comparaison avec chacune déciles, est égal à Tunité.

434. La moyenne proportionnelle entre m quantités est égale à la racine m*"" de leur produit. Car, si Ton appelle x la moyenne proportionnelle entre les m quantités a, i, c,..../, les m rapports,

résultant de la comparaison de x avec a, b, c... .1, sont -, ti

— , . . . . -p , et, en vertu de la définition de la moyenne, on a c i

chassant les dénominateurs et observant qu'alors le premier membre est le produit de m facteurs égaux à a?, on trouve

x'^=aXbXc X/,

d'où

a; = k^aX^X^ Xl.

435. La moyenne proportionnelle entre plusieurs quantités (on les suppose toutes positives) est plus petite que leur moyenne arithmétique. Pour démontrer cette proposition , nous allons d'abord établir celle-ci : si l'on divise'un nombre s en m parties, le produit de ces parties sera le plus grand possible quand elles seront égales entre elles, c'est-à-dire que ce plus grand

produit est l — j .

Représentons ce plus grand produit par p et les m facteurs dont il est composé par a?, y, z, w. . . .; nous aurons

xxyxzxu =p. ^

d'algèbre. 21 7

Cela posé, considérons d*abord les deux facteurs x et j- ; admettons un instant qu'il y ait inégalité entre eux, et désignons leur demi-somme par a, en sorte que a: -f-y = 2a ; nous déduirons ù^ là, en vertu du n"* 384 , l'inégalité xj<a^, et, en substituant dans les deux premières équations,

ce qui est impossible, à cause de la définition de p ; donc x=jr ;

on prouverait de la même manière que j'=^, z=w ; donc

x=:^jr=z=^u ; ce qui change l'équation (a) en mx=^Sy d'où

a;= — , et par suite

'^ m m m m \ml

Soient maintenant m quantités a, 6, c,.... /; nous aurons, en vertu de ce qui précède,

,xix»....xi<( °+'+.''--+' )"

et, en extrayant la racine m^® des deux membres.

V~aXbXc....Xl<-

in. Système de proportions,

436. Si deux proportions ont un rapport commun y les rapports non communs forment une nouvelle proportion. Soient deux proportions

ayant forme

un rapport commun a: b\

on pourra les

équations d'où

l'on tire aisément

= y , et par suite,

437. Si deux proportions ont les mêmes antécédents, les conséquents sont proportionnels. Soient les proportions

a: b :: c : dj a: e :: c : f,

ayant les mêmes antécédents a et c; faisant changer de place aux moyens dans chacune d'elles (425), elles deviennent

d*oii résulte, à cause du n® précédent,

b : d :: e : f ou b : e :: d: f,

438. On démontrerait de la même manière que si deux proportions ont les mêmes conséquents, les antécédents sont pro-

439. Si deux proportions ont les mêmes extrêmes, les moyens sont inversement propqrtionnels. En effet, des deux proportions

qui ont les extrêmes communs a et d, on déduit (422)

aXd=bXc, axd = exfy

et par conséquent

bxc — ex.f, d'où (413) b:e::f:c.

440. On démontrerait par un raisonnement analogue que si deux proportions ont les mêmes moyens, les extrêmes sont in-versement proportionnels,

' 441 . Si l'on rnukiplie-, terme à terme, deux ou un plus grand nombre de proportions, les produits seront proportionnels. Soient, pour le démontrer, les proportions

a : b :: c : d, e:f::g:h, i:j::k:L On peut d*abord les mettre sous la forme

et, si l'on multiplie ces équations membre à membre, on trouve

aXeXi ^ cXgXk

bXsfXj .dXhxl '

d'où

aXeXi:bXfXj ::cXgXk idxhxL

' 442. Si Von divise deux proportions, terme à terme, les quotients sont proportionnels. En effet, des proportions a : b :: c : d, e: f :: g : h.

d'algèbre. 81 9

00 tire

aXd = bXc, eXh=fXg,

et, en divisant ces équations membre à membre,

aXd bX c f! V ^ * v ^

7xh~fX^ ^^"e^ h^f^^g' d'oîi Ton peut conclure (423)

443. Si quatre quantités sont en proportion, leurs puissances semblables sont proportionnelles. Car, à la proportion a : b :: c : d, on peut substituer Téquation

T'~1' et, si Ton élève ses deux membres à la puissance m, il vient

b^ ~d^ ' d'où

444. Si quatre quantités sont en proportion, leurs racines semblables sont proportionnelles ; car , à la proportion a : b :: c : d, on peut substituer Téquation

b~ d' et, en extrayant la racine m^"*' des deux membres, il vient

ra "m >

[Tb yTd d*oii

[Ta : [Tb :: \rc : j/~d.

IV. Changements que Von peut faire subir aux termes d'une proportion sans la détruire,

-445. On peut, sans détruire une proportion, multiplier ou diviser par une même quantité, 4^. les deux termes d'un même rapport; 2"* les deux antécédents; 3** les deux conséquents.

220 PBINGIPCIS

Ainsi, de la proportion a : b :: c : d, on peut déduire, quel que soit m,

1^ ma : mi :: (? : d;

2"* ma : é :: me : d;

3° a : mi :: c : md\

Car, après ces changements, en vertu de Téquation aXd=iX^, le produit des extrêmes est encore égal à celui des moyens.

446. On démontrerait de la même manière que sans détruire une proportion, on peut multiplier Vun des extrêmes ou des mojens par une quantité arbitraire, pourvu que Von divise Vautre extrême ou Vautre moyen par la même quantité.

447. Dans toute proportion, la somme ou la différence des deux premiers termes est à la somme ou à la différence des deux derniers comme le premier terme est au troisième, ou comme le deuxième est ati quatrième. Car de la proportion a : b :: c : d on déduit

et, en ajoutant + 1 aux deux membres de cette équation,

7 i I == -1 ± I ou -=- = -=~ ; b^ d b d

d'où l'on conclut (421 )

Cette proportion et celle dont nous sommes partis ont les mêmes conséquents; donc les antécédents sont proportionnels, et Ton a

Intervertissant Tordre des moyens dans (b) et (c), il vient enfin

448. Dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est à leur différence comme la somme des deua> derniers est à leur différence. Car, en dédoublant la proportion (b), on a les deux suivantes

et, parce qu'elles ont les mêmes conséquents,

449. Dans toute proportion^ h"" la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou à la différence des conséquents comme un antécédent est à son conséquent ; 2** la somme des antécédents est à leur différence comme la somme des conséquents est à leur différence. En effet, en changeant Tordre des moyens dans la proportion a : b :: c : d, on obtient a : c \: b \ d^ d*où Ton tire, en vertu des n"* 447 et 448,

450. Voici quelques autres transformations de la proportion a : b :: c : d, que nous nous dispenserons.d*énoncer ; multipliant les deux membres de Téquation fondamentale

'b~d par m, et ajoutant ensuite n à l'un et à l'autre [m et n sont deux nombres quelconques), il vient

ma , me . ma + nb mc + nd

d'où Ton tire

ma+nb : b :: mc + nd : d; désignant maintenant par p et ç deux autres nombres quelconques, on trouverait, en suivant la même marche,

pa + qb : b :: pc+qd : d; de la comparaison de ces deux proportions, il résulte celle-ci :

ma+nb : pa+qb :: mc + nd : pc + qd, (g)

En déplaçant les moyens de la proportion a : b :: c : d, elle devient a : c :: é : d, et par conséquent on a aussi

ma+nc : pa + qc :: mb+nd : pb + qd, (h)

Les deux proportions (g) et (h) comportent toutes celles de ce paragraphe ; si l'on suppose, par exemple, quem=i,n=!i,p=i, q== — I, on retombe sur les transformations (e) et (f) des n®* 44^ et 449.

En général, il sera toujours facile de reconnaître si une pro-

portion donnée peut se déduire de a: b :: c : d, car il suffira de s'assurer si le produit des extrêmes y est égal à celui des moyens, en vertu de la seule relation axd=^bxc,